垂直于弦的直径

------垂径定理

【教学内容】 垂径定理

【教学目标】

1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

             ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

             ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；

             ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；

             ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】

一复习提问

  1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？

   2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？

你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

   3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．

 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

二、实例导入，激疑引趣

    1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？    

通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。      （图1幻灯片放映）

三、尝试诱导，发现定理

（一）学生活动

1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。

如图，ab是 o的一条弦，做直径cd，使cd ab，垂足为e．

2教师用电脑演示重叠的过程。

提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

        （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．

    （2）ae=be，ad=bd  ac=bc

（二）引导探究，证明定理

1．引导证明：

引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。

    ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2．归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．巩固定理：

a

d

在下列图形能否利用“垂径定理”得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。

a

b

c

c

e

a

b

o

e

b

c

o

c

c

e

 

e

a

b

e

b

a

b

a

d

  

d

d

 

 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

四、例题示范，变式练习

1．运用定理解决赵州桥的问题。

〖例1〗 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，

 

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少 ？

o

d

a

c

r

分析：如图，用ab   表示主桥拱，设 ab  所在圆的圆心为o，半径为r．经过圆心o 作弦ab 的垂线oc，d为垂足，oc与ab 相交于点d，根据前面的结论，d 是ab 的中点，c是 ab  的中点，cd 就是拱高

在图中ab=37.4，cd=7.2

b

ad=1/2ab=1/2 37.4=18.7

od=oc-cd=r-7.2

在rt oad中，由勾股定理，得

oa2=ad2+od2

即         r2=18.72+（r－7.2）2

解得：r 27．9（m）

答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

e

b

a

例2 如图，在 o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求 o的半径．

解                          

答： o的半径为5cm.

五  小结

请大家围绕以下两个问题小结本节课

 ① 学习了一个与圆有关的重要定理，定 理的内容是什么？

 ② 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？

归纳：

1.垂径定理相当于说一条直线如果具备

（1）过圆心；

（2）垂直于弦

则它有以下性质

（1）平分弦；

（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.

2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

六 作业

1教材88页练习1，2题

2教材95页习题24.1   7、8、9；