垂直于弦的直径（一）

教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．教学重点： 垂径定理及应用．教学难点：垂径定理的证明．教学过程：一、新课引入：请同学们回答下列问题：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．2、等腰三角形是轴对称图形吗？3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．接着电脑继续演示，教师讲解：

由图7-9（1）中cd为 o的直径；变到图7-9（2）中在 o上任意取一点a；再变到图7-9（3）从点a作直径cd的垂线交 o于另一个交点b．这时我们可以看出图（3）中的点b与点a是否是对称点呢？a、b是关于什么对称．教师进一步提出当直径cd垂直于弦ab，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．二、新课讲解：为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知cd所在直线是 o的对称轴；到图7-9（2）从 o上取一点a，过点a作直径cd的垂线交 o于点b，得到图7-9（3），这时沿着cd折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．已知：在 o中，cd是直径，ab是弦，cd ab，垂足为e．求证：ae=eb， = ， = ．证明：连结oa，ob，则oa=ob．又cd ab， 直线cd是等腰 oab的对称轴，又是 o的对称轴．所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合．因此，ae=be， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．〈2〉                  〈1〉〈3〉                              〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．例1  如图7-10，已知在 o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求 o的半径．

教师分析：要求 o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe ab于e，学生回答，教师板书计算过程．解：连结oa，作oe ab，垂足为e． oe ab， ae=eb． ab=8cm， ae=4cm．又 oe=3cm，在rt aoe中， o的半径为5cm．教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．例2  已知：如图7-11，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点．求证ac=bd．例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价．练习1：教材p．78中1题．练习2：教材p．78中2题．练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．

最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．三、课堂小结：小结由学生完成，教师进一步强调．1．本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用．2．方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．四、布置作业教材p．84中11、12、13