11．2．1  正比例函数

11．2．1  正比例函数

教学目标
    （一）教学知识点
    １．认识正比例函数的意义．
    ２．掌握正比例函数解析式特点．
    ３．理解正比例函数图象性质及特点．
    ４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
    １．理解正比例函数意义及解析式特点．
    ２．掌握正比例函数图象的性质特点．
    ３．能根据要求完成转化，解决问题．
    教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
    ⅰ．提出问题，创设情境
    一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
    １．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
    ２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
    ３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
    我们来共同分析：
    一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
    25600 （30 4+7） 200（km）
    若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
    y=200x（0 x 127）
    这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
    y=200 45=9000（km）
    以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
    类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
    ⅱ．导入新课
    首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
    １．圆的周长l随半径r的大小变化而变化．
    ２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积v（cm3）的大小变化而变化．
    ３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
    ４．冷冻一个0 的物体，使它每分钟下降2 ．物体的温度ｔ（ ）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
    解：１．根据圆的周长公式可得：l=2 r．
    ２．依据密度公式p= 可得：m=7．8v．
    ３．据题意可知： h=0．5n．
    ４．据题意可知：t=-2t．
    我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
   
  一般地， 形如y= kx （k 是常数， k 0 ）的函数， 叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．
    我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
    [活动一]
    活动内容设计：
    画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
    １．y=2x   ２．y=-2x
    活动设计意图：
    通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．
    教师活动：
    引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．
    学生活动：
    利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．
    活动过程与结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -6 -4 -2 0 2 4 6

    画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4 -6

    画出图象如图（2）．
    ３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
    不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小； 经过第二、四象限．
    尝试练习：
    在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y= x  ２．y=- x

x -6 -4 -2 0 2 4 6
y= x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=- x
3 2 1 0 -1 -2 -3

    比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y= x 的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=- x 的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
    总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
    正比例函数y=kx（k是常数，k 0）的图象是一条经过原点的直线． 当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时， 图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
    正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k 0）的图象是一条直线， 我们可以称它为直线y=kx．
    [活动二]
    活动内容设计：
    经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时， 怎样画最简单？为什么？
    活动设计意图：
    通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
    教师活动：
    引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．
    学生活动：
    在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．
    活动过程及结论：
    经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
    画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
    ⅲ．随堂练习
    用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
    １．y= x    ２．y=-3x
    解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：
    １．y=  x  （2，3）
２．y=-3x  （1，-3）
 
   小结：
    本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
   课后作业
    习题11．2 1、2题．
    ⅵ．活动与探究
    某函数具有下面的性质：
    １．它的图象是经过原点的一条直线．
    ２．y随x增大反而减小．
    请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
    解：函数解析式：y=-0．5x
x 0 2
y 0 -1
 
  
    备选题：
    汽车由天津驶往相距120千米的北京，ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离， t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
 
    １．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
    ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
    ３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
    解法一：用图象解答：
    从图上可以看出4个小时可到达．
    速度 =30（千米／时）．
    行驶１小时离开天津约为30千米．
    当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
    解法二：用解析式来解答：
    由图象可知：ｓ与t是正比例关系，设s=kt，当t=4时s=120
    即120=k 4  k=30
    s=30t．
    当t=1时  s=30 1=30（千米）．
    当s=100时  100=30t  t= （小时）．
    以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛