三角形的角平分线

定理

李逵

教学目标：1、理解三角形的内外角平分线定理；

2、会证明三角形的内外角平分线定理；

3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

4、培养逻辑思维能力。

教学重点：1、几何证明中的证法分析；

2、添加辅助线的方法。

教学难点：如何添加有用的辅助线。

教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

教学方法：“四段式”教学法，即读、议、讲、练。

一、阅读课本，注意问题

1、复习旧知识，回答下列问题

①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。

②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？

③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？

④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？

2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。

提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。

a

b

c

d

3、注意下列问题：

⑴如图，等腰 中，顶角 的平分线 交底边 于 ，那么，图中出现的相等线段是         ，        ，即    ，     。通过比较得到 。

a

b

c

d

⑵如果上面问题中的 换成任意三角形，即右图的 ， 平分 ，交 于 ，那么， 是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段 、 、 、 的长度，计算 ？， ？，然后再比较（小的误差忽略不计）。

⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？

⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？

⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？

⑹过 、 、 三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？

⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？

⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？

⑼回答练习中的第一题。

⑽总结证明方法和作辅助线的方法。

⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。

4、阅读指导丛书《平面几何》第二册 。

⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对 图 、 、 的观察分析，找出解决问题的证明方法。

⑵丛书 利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。要注意三角形面积的几种不同的计算方法。

二、互相讨论，解答疑点

1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。

2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。

3、把同学之间讨论的结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的根据。最后，适当地总结一些解题的经验和方法。

三、讲评纠正，整理内容

1、把学生讨论的结果归纳出来，加以补充说明，纠正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。

①证明比例式 的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的辅助线都是平行线。

a

b

c

d

②从上述几种证明方法可以看出，证明 的关键在于通过作辅助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便根据平行截割定理的推论得出所要的结论。

③辅助平行线的作法，只能是过 、 、 三点分别作不过 、 、 三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。

2、整理教学内容

⑴线段的内分点和外分点

（ⅰ）定义：

①在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。

②在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。

（ⅱ）举例

点在线段 上，把线段 分成了 和 两条线段，所以，点 是线段 的内分点，线段 和 叫

a

b

c

d

做点 内分线段 所得的两条线段。

点在线段 的延长线上，和 、 两个端点构成了 、 两条线段，所以，点 是线段 的外分点，线段 和 叫做点 外分线段 所得的两条线段。

（ⅲ）条件

①内分点的条件：a）在已知线段上；

b）把已知线段分成另外两条线段。

②外分点a）在已知线段的延长线上；

b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。

（ⅳ）特殊情况

a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？

b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？

c）一条已知线段有几个中点？有几个黄金分割点？有几个内分点？几个外分点？

⑵三角形的内角平分线定理

（ⅰ）定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

（ⅱ）已知： 中， 平分 ，交 于 。

求证： 。

（ⅲ）简单分析

a

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d

从结论 来考虑，横着看，两个比的前项 、 在 中，两个比的后项 、 在 中。按照相似三角形的性质，只要 ，那么，结论 就是成立的。但是， 与 不是一对相似三角形，所以，不可能用相似三角形来证明。竖着看，有 和 ，事实上， 不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，显然，图中也没有平行线。因此，要想得到结论 ，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相似三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了辅助线的作法以平行线为主。

a

b

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例如，把线段 绕着它的端点 旋转适当的角度到图中 的位置（即 的延长线）。由于旋转不改变线段的长度，所以，从旋转情况可得 。由于 平分 ，所以，连接 后可以证明 。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点 作 交 的延长线于 ”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段 绕着它的端点 旋转适当的角度到端点 落在线段 的延长线上，同样也可以证明。

（ⅳ）证法提要

a

b

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d

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①证法一：如上图，过点 作 交 的延长线于 ，可以得到：a） （为什么？）；b） （为什么？）。通过等量代换便可以得到结论 。同样，过 点作 的平行线和边 的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。

②证法二：如右图，过点 作 交 的延长线于 ，可以得到：a） （为什么？）；b） （为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论 。同样，过 点作 的平行线和 的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

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③证法三：如右图，过点 作 交 于 ，可以得到：a） （为什么？）；b） （为什么？）；c) 。通过等量代换便可以得到所要的结论 。同样，过 点作 的平行线和 相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

④证法四：如下页图，过点 作 交 于 ，根据三角形的面积公式可得： ；

又根据正弦定理的面积公式有：

a

b

c

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；

通过比较就可以得到：所要的结论 。

⑶三角形的外角平分线定理

（ⅰ）定理：三角形的外角平分线外分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

a

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（ⅱ）已知： 中， 是 的一个外角， 平分 ，交 的延长线于 。

求证： 。

（ⅲ）简单分析：（类同内角平分线定理的分析方法）

（ⅳ）证法提要；（类同内角平分线定理的分析方法）

四、小结全节，练习巩固

1、小结

⑴两个定理

（ⅰ）三角形的内角平分线定理

（ⅱ）三角形的外角平分线定理

⑵证明方法

分为四大类共七种方法。

2、练习

⑴教材 ，2、3两题。

⑵补充题：

①画任意一个三角形的某个角的内外角平分线，说明内外角平分线之间的关系，证明你的结论。

②画等腰三角形的外角平分线，说明外角平分线和底边之间的关系，证明你的结论。

3、作业

教材 ，17、18两题。