一台钢琴的科普

很久很久以前，我就想写一点关于傅立叶变换的文字，不过怎么写都非常艰深晦涩，一点都不符合我的风格。于是这个命题我停了下来，挂在脑子里转啊转，转了几年。

山姆会员商店里有一台钢琴在卖，我也是这个商店的会员之一，于是常带着孩子过去玩。孩子自然对于在钢琴上胡敲非常有兴趣，每一次都要去咚咚咚砸一遍，引得店员侧目，真的，不是因为孩子弹得好，而是担心钢琴被砸坏了。

但是他要是一会儿看到我要拿这架钢琴干什么，估计他不只是侧目，而是要围观了。且等着。

我们知道，我们的声音都是一些波，称为声波。（废话）

每一道声波都是周期函数。（废话）

但它们都不是简单的三角函数。（废话真多）

但它们都可以看成很多简单三角函数的叠加。（嗯，不太废话了）

举个例子。

上图的第1、2、3、4、5都是一些简单的正弦波，它们的频率是简单的倍数关系，不妨称其为1倍波，2倍波，3倍波，4倍波和5倍波。

最下面一行的图形则是前面5个三角函数的叠加。也是我们听到的实际的声音。

我们再看一个图。

前5个图像还是上图的5个正弦波，但它们叠加之后的波形却大不相同，为什么呢？

因为我们两次叠加时，5个正弦波的振幅不同了。

我们可以很显然看出来，下面一个波形中，1倍波的振幅显然要更大一些。

我想，你应该能明白声音的基本构成。

我们能听到的声音可以分为乐音和噪音。一般来说，乐音波比较规则，而噪音则杂乱无章。这个不重要。

对于一个声音来，我们关注他的三个方面。

1、响度。就是声音大小，这个通过调音响上的旋钮就可以实现。它实际上是声波的振幅。

2、音调。就是声音频率，也就是我们上图中1倍波的频率，比如现行的音乐中C调的3，频率就是659.3赫兹。

3、音色。所有的乐器，包括人，唱3的时候，都不会只发出一个1倍波，他会同时发出2倍波，3倍波，4倍波，5倍波……这些波在音乐上称为泛音，叠加后就会产生频率659.3赫兹，但波形各具特色的样子。这些不同的波形就是音色。

我们知道了，一个乐器发出3的声音时，频率都是一样的，659.3赫兹，但是波形完全不同。

下面的问题来了，我们怎么把一个已知的声音波形，分解成简单的正弦波？毕竟，那么复杂的波形没法子数字化保存。（老式磁带不是数字化保存，MP3是数字化保存）

把已知的波，转换成数个简单的正弦波，被称为傅立叶变换，那个叫傅立叶的鬼才用这个玩意儿整秃了不少少年的头。

先讲个故事。

古时候，有个庙里闹鬼，一到晚上，方丈屋里的磬就会自己响起来，搞得整个庙心神不宁。

有一天，一个官员到庙里做客，听说了这件事，很好奇。就到方丈屋里去看，方丈屋里的确摆着一个磬，看上去和普通的磬没有两样，他正琢磨呢，庙里敲钟，磬也跟着响了起来。

他大笑，拿起锉刀，对着磬锉了几下，从此，这个磬就再也不会自己响了。

这个故事叫《曹绍夔 (kuí) 捉妖》，有兴趣的朋友可以去翻阅，我的文字功底实在有限，讲故事不是我特长。

这个故事要说的物理原理，就叫共振——如果两个物体的频率相同，则其中一个振动起来，会带动另一个振动。其实，就是频率不同也会振动，但频率相同时振动最强烈，磬和钟的频率正好相同，他也就自己响了。用锉刀处理一下，改变了频率，共振就消失了。

现在我要去分解我自己的声音了。

我拆下商店里的那个钢琴前面的面板，把右踏板按下，让所有琴弦都能自由振动。

然后对着钢琴喊：啊~~

奇迹出现了，我停止喊声，但钢琴却发出了我的：啊~~

要是空旷的谷仓，我们可以理解为回声，但一架钢琴，并不能产生回声。请仔细观察，钢琴上有些弦振动了起来。

非常好，聪明的你一定猜到了，这些振动的弦和我声音里的频率相同，他们就是我那一句啊~~的1倍波，2倍波，3倍波……

只要记录下被我的声音共振起来的那些弦，傅立叶分析就完成了。

钢琴就是一架全自动的傅立叶分析仪！

我们的实验还发现一些现象。

当我停止喊声后，钢琴对应的1倍到5倍频率的琴弦激烈振动起来， 这是我的五个正弦波。

当我停止喊声1秒左右，钢琴发出的声音和我的声音还是很像的，然后声音就开始变形了，不太像了。

这是因为随着时间延长，高频部分迅速衰减，就剩下低频部分还在振动，声音当然变形。这就是为什么MP3格式音乐在专业人士那里完全无法接受，因为MP3把很多高频部分直接舍去了，保留了普通人能听出了的部分。但对于专业人士的耳朵，残缺的交响乐无法接受。

当然，数学不可能每一个波形都拿一架钢琴来做实验。

用钢琴的傅立叶怎么可能留有姓名。

这是傅立叶变换的基础公式，我们看到，n=1就是1倍波，n=2就是2倍波……

至于关键的an和bn的计算，会秃头，我不想尝试了。对自己头发有信心的去试试，有公式的，积分形式，哈哈。

溜了溜了，我看见那个店员黑着脸，拎着狼牙棒过来了。