一台钢琴的科普

很久很久以前,我就想写一点关于傅立叶变换的文字,不过怎么写都非常艰深晦涩,一点都不符合我的风格。于是这个命题我停了下来,挂在脑子里转啊转,转了几年。

山姆会员商店里有一台钢琴在卖,我也是这个商店的会员之一,于是常带着孩子过去玩。孩子自然对于在钢琴上胡敲非常有兴趣,每一次都要去咚咚咚砸一遍,引得店员侧目,真的,不是因为孩子弹得好,而是担心钢琴被砸坏了。

但是他要是一会儿看到我要拿这架钢琴干什么,估计他不只是侧目,而是要围观了。且等着。


我们知道,我们的声音都是一些波,称为声波。(废话)

每一道声波都是周期函数。(废话)

但它们都不是简单的三角函数。(废话真多)

但它们都可以看成很多简单三角函数的叠加。(嗯,不太废话了)


举个例子。

一台钢琴的科普

上图的第1、2、3、4、5都是一些简单的正弦波,它们的频率是简单的倍数关系,不妨称其为1倍波,2倍波,3倍波,4倍波和5倍波。

最下面一行的图形则是前面5个三角函数的叠加。也是我们听到的实际的声音。

我们再看一个图。

一台钢琴的科普

前5个图像还是上图的5个正弦波,但它们叠加之后的波形却大不相同,为什么呢?

因为我们两次叠加时,5个正弦波的振幅不同了。

我们可以很显然看出来,下面一个波形中,1倍波的振幅显然要更大一些。


我想,你应该能明白声音的基本构成

我们能听到的声音可以分为乐音和噪音。一般来说,乐音波比较规则,而噪音则杂乱无章。这个不重要。

对于一个声音来,我们关注他的三个方面。

1、响度。就是声音大小,这个通过调音响上的旋钮就可以实现。它实际上是声波的振幅。

2、音调。就是声音频率,也就是我们上图中1倍波的频率,比如现行的音乐中C调的3,频率就是659.3赫兹。

3、音色。所有的乐器,包括人,唱3的时候,都不会只发出一个1倍波,他会同时发出2倍波,3倍波,4倍波,5倍波……这些波在音乐上称为泛音,叠加后就会产生频率659.3赫兹,但波形各具特色的样子。这些不同的波形就是音色。


我们知道了,一个乐器发出3的声音时,频率都是一样的,659.3赫兹,但是波形完全不同。

下面的问题来了,我们怎么把一个已知的声音波形,分解成简单的正弦波?毕竟,那么复杂的波形没法子数字化保存。(老式磁带不是数字化保存,MP3是数字化保存)

把已知的波,转换成数个简单的正弦波,被称为傅立叶变换,那个叫傅立叶的鬼才用这个玩意儿整秃了不少少年的头。

一台钢琴的科普

先讲个故事。

古时候,有个庙里闹鬼,一到晚上,方丈屋里的磬就会自己响起来,搞得整个庙心神不宁。

有一天,一个官员到庙里做客,听说了这件事,很好奇。就到方丈屋里去看,方丈屋里的确摆着一个磬,看上去和普通的磬没有两样,他正琢磨呢,庙里敲钟,磬也跟着响了起来。

他大笑,拿起锉刀,对着磬锉了几下,从此,这个磬就再也不会自己响了。

这个故事叫《曹绍夔 (kuí) 捉妖》,有兴趣的朋友可以去翻阅,我的文字功底实在有限,讲故事不是我特长。

这个故事要说的物理原理,就叫共振——如果两个物体的频率相同,则其中一个振动起来,会带动另一个振动。其实,就是频率不同也会振动,但频率相同时振动最强烈,磬和钟的频率正好相同,他也就自己响了。用锉刀处理一下,改变了频率,共振就消失了。

一台钢琴的科普

现在我要去分解我自己的声音了。

我拆下商店里的那个钢琴前面的面板,把右踏板按下,让所有琴弦都能自由振动。

然后对着钢琴喊:啊~~

奇迹出现了,我停止喊声,但钢琴却发出了我的:啊~~

要是空旷的谷仓,我们可以理解为回声,但一架钢琴,并不能产生回声。请仔细观察,钢琴上有些弦振动了起来。

非常好,聪明的你一定猜到了,这些振动的弦和我声音里的频率相同,他们就是我那一句啊~~的1倍波,2倍波,3倍波……

只要记录下被我的声音共振起来的那些弦,傅立叶分析就完成了。

钢琴就是一架全自动的傅立叶分析仪

我们的实验还发现一些现象。

当我停止喊声后,钢琴对应的1倍到5倍频率的琴弦激烈振动起来, 这是我的五个正弦波。

当我停止喊声1秒左右,钢琴发出的声音和我的声音还是很像的,然后声音就开始变形了,不太像了。

这是因为随着时间延长,高频部分迅速衰减,就剩下低频部分还在振动,声音当然变形。这就是为什么MP3格式音乐在专业人士那里完全无法接受,因为MP3把很多高频部分直接舍去了,保留了普通人能听出了的部分。但对于专业人士的耳朵,残缺的交响乐无法接受。


当然,数学不可能每一个波形都拿一架钢琴来做实验。

用钢琴的傅立叶怎么可能留有姓名。

一台钢琴的科普

这是傅立叶变换的基础公式,我们看到,n=1就是1倍波,n=2就是2倍波……

至于关键的an和bn的计算,会秃头,我不想尝试了。对自己头发有信心的去试试,有公式的,积分形式,哈哈。

一台钢琴的科普

溜了溜了,我看见那个店员黑着脸,拎着狼牙棒过来了。

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投稿时间:2021-11-24  最后更新:2022-08-22

标签:傅立叶   钢琴   振幅   声波   波形   方丈   频率   声音   简单   正弦波

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