点到直线的距离

　　（1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

　　（2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

　　（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．

　　教学重点：点到直线距离公式及其应用．

　　教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．

　　教学方法：问题解决法、讨论法．

　　教学工具：计算机多媒体、实物投影仪．

　　教学过程：

　　一、创设情景提出问题

　　多媒体显示实际的例子：

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区p的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为p（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

　　这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．

　　二、自主探索推导公式

多媒体显示：已知点p(x0，y0)，直线：ax+by+c=0，求点p到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足q，求线段pq的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？

教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．

板书：

如何求？

学生思考回答下列想法：

思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．

教师评价：此方法思路自然．

　　教师继续提出问题：

　　(1)求线段长度可以构造图形吗？　(2)什么图形？如何构造？

　　(3)第三个顶点在什么位置？  　 (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

　　学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点m或与y轴交点n，或过p点做x,y轴的平行线与直线的交点r、s．

教师根据学生提出的方案，收集思路．

思路二：在直角 pqm,或直角 pqn中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．

思路三：在直角 pqr,或直角 pqs中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．

思路四：在直角 prs中，求线段pr、ps、rs，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段pq长．

　　学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．

　　（思路一）解：直线：，即

　　　　由，

（思路四）解：设，，，

  ，；，

由，

而

　　说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目．

　　教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？

②点p在直线上成立吗？

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

　　由此推导出点p(x0，y0)到直线：ax+by+c=0距离公式：

　　　　　适用于任意点、任意直线．

教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？

思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取 ．

教师板演：

，

，由于点q在直线上,所以满足直线方程,解得

　　教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．

　　三、变式训练学会应用

　　练习：

　　1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）

　　2.求点p0(－1,2)到下列直线的距离：

　　　①3x=2    ②5y=3    ③2x y=10   ④y=－4x+1

　　练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式．

　　练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．

　　教师强调：直线方程的一般形式．

　　例题：

　　3.求平行线2x－7y 8=0和2x－7y－6=0的距离．

　　教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？

　　学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离．

　　师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．几何画板演示点和直线变化，选取点和直线．学生自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．

　　解：在直线2x－7y－6=0上任取点p(x0，y0)，则2 x0－7 y0－6=0，点p(x0，y0)到直线2x－7y 8=0的距离是．

　　教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点p，求它到两条直线的距离，然后作差．

　　引申思考：与两平行线间距离公式．

　　四、学生小结教师点评

①    知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．

②    数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．

　　五、课外练习巩固提高

①    课本习题7.3的第13题----16题；

②    总结写出点到直线距离公式的多种方法．

　　教学设计说明：

　　一、教材分析

我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的．教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况．

　　二、教学方法和教学用具

1、教学方法的选择

（1）指导思想：“以生为本”的理念，在课堂中充分体现“教师为主导，学生为主体”．

（2）教学方法：问题解决法、讨论法．

    2、教学用具的选用

采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，部分纯计算的解题过程，提高课堂效率．

　　三、教学过程

这节课在：“创设情景提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节中，始终以学生为本．教师主导，学生自主探究，将问题解决．

首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题．通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施．学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力．关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法．主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础．

我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成．我强调注意在公式中直线方程的一般式．例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法．我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题．在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性．本节课小结主要由学生总结和补充，教师点拨，尤其数学思想方法教师加以总结概括．在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求．