方程的根与函数的零点

第一课时： 3.1.1
教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.
教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.
教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.
教学过程：
一、复习准备：
思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？
.二、讲授新课：
1、探讨函数零点与方程的根的关系：
① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?
方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？
方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？
② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： 推广到y=f(x)呢？
一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.
③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？
结论：方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
⑤ 练习：求下列函数的零点    ；  小结：二次函数零点情况
2、教学零点存在性定理及应用：
① 探究：作出 的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号
②观察下面函数 的图象，在区间 上______(有/无)零点； • _____0（ 或 ）. 在区间 上______(有/无)零点； • _____0（ 或 ）． 在区间 上______(有/无)零点； • _____0（ 或 )．
③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.  （试讨论一些函数值 分别用代数法、几何法）
⑤小结：函数零点的求法
代数法：求方程 的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
⑥ 练习：求函数 的零点所在区间.
3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理
三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题  （教师计算机演示，学生回答）
2. 求函数 的零点所在区间，并画出它的大致图象.
3. 求下列函数的零点： ； ； ；
   .
4. 已知 ：（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．
5. 作业：p102,  2题；p125  1题
第二课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解
教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学重点：用二分法求方程的近似解.
教学重点：恰当的使用信息工具.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？ 零点存在性定理？
零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
2. 探究：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
  材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题
二、讲授新课：
1. 教学二分法的思想及步骤：
① 出示例：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球
    第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
② 探究： 的零点所在区间？如何找出这个零点？ 师生用二分法探索
③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)
④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：
a．确定区间 ，验证 ，给定精度ε；b. 求区间 的中点 ；
c. 计算 ： 若 ，则 就是函数的零点； 若 ，则令 （此时零点 ）； 若 ，则令 （此时零点 ）；
d. 判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
2. 教学例题：
① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）
② 练习：求函数 的一个正数零点（精确到 ）
3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注重二分法思想
三、巩固练习：1.  p100, 1,题 2,题； 2. 求方程 的解的个数及其大致所在区间.
3. 用二分法求 的近似值；  4. 求方程的实数解个数： ；
5. 作业：p102  3，4题， 阅读p105框图