人教版高一数学《零点求法与方程及运用》教案

零点求法与方程及运用
一、概念认识：零点是函数 的零点，但不是点，是满足 的“ ”。
二、策略优化：
①定义法   （ 与 轴交点），
②方程法   （解方程 ），
③构造函数法，
三、运用体验：

四、经典训练：
例1： 是 的零点，若 ，则 的值满足        . 
【分析】函数 在 上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在 上这个函数的函数值小于零，即 。
【考点】函数的应用。
【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。
练习：1.“ ”是“函数 在区间 上存在零点 ”的         ．充分非必 要条件 
例2已知函数 有零点，则 的取值范围是___________．
练习：若函数 在r上有两个零点，则实数k的取值范围为_____________     

练习：设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是           ．      
练习：设函数  ，若函数 在 上恰有两个不同零点，则实数的 取值范围是      . 
例3：若方程 的解为 ，则不小于 的最小整数是           ．5

例4：已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设 ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅲ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围．
解:（ⅰ）(1)   当 时， 上为增函数  
故    
当 上为减函数
故  
 即 .   .
（ⅲ）方程 化为
 ，
令 ， 则方程化为  （ ）
方程 有三个不同的实数解，
由 的图像知，
 有两个根 、 ，
且   或  ，                     
                                    
记
则    或                                 
练习：已知二次函数 ．
（1）若 ，试判断函数 零点个数；
(2) 若对 且 ， ，试证明 ，使 成立；
解：（1）   
 当 时 ，
函数 有一个零点；当 时， ，函数 有两个零点。
 
在 内必有一个实根。即 ，使 成立。
五、课外拓展：
1.已知函数 的零点依次为a，b，c，则          ．
 a．a<b<c b．c<b<a c．a<c<b d．b<a<c
2.已知函数 .
3）记 .当 时，函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.
解:(iii)依题得 ，则 .由 解得 ；由 解得 .
所以函数 在区间 为减函数，在区间 为增函数.
又因为函数 在区间 上有两个零点，所以
解得 .所以 的取值范围是 .
3.已知函数 = 当2 a 3 b 4时，函数 的零点  5
【解析】方程 =0的根为 ,即函数 的图象与函数 的交点横坐标为 ,且 ,结合图象,因为当 时, ,此时对应直线上 的点的横坐标 ;当 时, 对数函数 的图象上点的横坐标 ,直线 的图象上点的横坐标 ,故所求的 .
4.设函数
（ⅰ）略；（ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 .若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围.
解：（2） ，令 ，得到
因为 ，当x变化时， 的变化情况如下表：
          
  + 0 - 0 +
  
极小值 
极大值 

 在 和 内减函数，在 内增函数.
函数 在 处取得极大值 ，且 =
函数 在 处取得极小值 ，且 =
（3）解：由题设， 
所以方程 =0由两个相异的实根 ，故 ，
且 ，解得
因为
若 ，而 ，不合题意
若 则对任意的 有
则 又 ，所以函数 在 的最小值为0，于是对任意的 ， 恒成立的充要条件是 ,解得  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      综上，m的取值范围是
5.已知函数 , ,设 ,且函数 的零点均在区间 内,则 的最小值为        .
6.设函数 ， ．
（ⅲ）设 有两个 零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号．
解：（3） 的符号为正，理由为：因为 有两个零点 ，则有 ，两式相减，得
  即  
于是  
  
当 时，令 ，则 ， 
设 ，则
所以 在 上为单调增函数，而 ，所以 >0,
又因a>0,  ,所以
同理，当 时，同理可得
综上所述 的符号为正。