文 | 猎奇研究院

编辑 | 猎奇研究院

前言

构建颗粒复合材料细观结构与宏观性能之间的定量关系对设计与研究均具有重要意义，传统的实验方法复杂且耗时耗力，其结果也存在可靠性问题。

随着计算机科学技术的进步与复合材料理论方法的完善，理论模型计算已成为预测颗粒复合材料性能的一种重要手段，吸引着国内外众多学者投身到这一交叉性领域的研究中。

理论方法

目前，用于颗粒复合材料的研究已发展出了多种理论方法，主要包括第一性原理、有效介质理论以及基于Eshelby夹杂理论的细观力学方法，其中第一性原理及均匀化方法主要用于周期性结构，先对局部非均匀尺度水平进行求解，再通过几何周期性获得宏观尺度性能。

而有效介质理论的前提是夹杂微粒能够完全填满任意尺寸范围的基体，这一假设状态过于理想化，与实际情况相差较大，Eshelby等效夹杂法最先应用于求解含均匀特征应变的椭球形夹杂问题，后来逐步推广到解决非规则形状夹杂问题等方面。

近年来，国内外学者将等效夹杂方法应用于复合材料物理性能计算当中，相继发展出自洽法、广义自洽法、MoriTanaka法、微分法和分步夹杂法等均化理论与计算方法，用以求解复合材料有效性能。

对于研究复合材料细观结构与宏观性能之间定量关系的理论较多，但目前缺少表征夹杂物形状本质的数学方法，无法建立细观结构参数与性能计算的模拟框架，所以难以形成有效且准确的性能预测体系。

国内有学者根据有效介质理论开发了复合材料物理性能模拟软件，能够解决复合材料力学与电学部分问题，但其几何模型的构建过于理想化，难以全面准确地构建真实情况下复合材料物理性能的计算模型，降低了软件的适用性。

细观结构模型建立方面，傅里叶描述子形貌表征法被广泛应用于各种工程图像的几何特征重构，为基于真实图像构建细观结构模型提供了理论方法指导，本文针对颗粒复合材料的弹性性能与电导性能（以下统称为“物理性能”），结合傅里叶描述子法与格林函数法，提出了一种建立任意形状夹杂物的计算模型方法。

基于分步夹杂法推导了理论公式，构建了细观模型重构与有效性能预测的计算框架，在该框架的基础上，采用MATLAB/C++设计开发了颗粒复合材料物理性能预测软件，最后以不同规格铜铬合金为实验对象，分别进行实验分析与软件模拟计算，验证了本软件细观模型重构的有效性与计算模型预测结果的可靠性。

原理分析

颗粒复合材料有效性能的预测在理论模拟上可以概括为多夹杂问题的计算，多夹杂问题的思想是利用Eshelby单一夹杂问题的解，使用分步计算格式把复杂问题转化为单一问题进行求解，以弹性性能的求解为例，设指数标识R=0为基体相，R=1为增强相。

基于分步夹杂法的复合材料等效物理性能计算原理如下：假设复合材料中有n类夹杂物，第一步向纯基体材料中添加第一类夹杂物，经均匀化计算后的复合材料作为新基体，加入第二类夹杂物后再次均匀化，循环此过程。

最后得到含有多夹杂物复合材料的物理性能，具体计算过程如下：假设分步计算的过程已经进行。

对于材料不同的物理性能，可以根据材料的本构方程[8]Փ=QF数学形式相同的特征，如标量弹性理论中胡克定律和电学中描述电流、电导率、电压关系的欧姆定律，采用相同的方程求解算法进行计算，其中Q为物理性能，Փ为响应场，F为内源场。

求解任意形状夹杂的Eshelby张量时，设有无限大的各向同性介质，其局部区域内由于某种物理和化学原因产生了一个局部应变。

设平面中的夹杂物由K个点组成的数字边界，从任意点(x0,y0)开始，沿边界逆时针方向会出现索引0到K-1的坐标对，利用夹杂物轮廓的复数形式坐标对，结合式可以得到与其形状相关的Eshelby张量，然后通过分步夹杂法预测颗粒复合材料有效性能。

颗粒复合材料细观模型的建立方面，采用离散傅里叶变换提取颗粒增强相几何特征的相对信息，实现多参数组合的颗粒复合材料细观几何模型的构建，对傅里叶描述子进行归一化，通过相关数学公式进行旋转、平移、缩放等几何变换，最后通过逆变换实现任意形状夹杂物几何表征与重构。

在细观结构模型重构过程中，取不同夹杂物含量下颗粒复合材料SEM图像作为样本，统计同一颗粒含量下的SEM图像中所有夹杂物颗粒面积之和。

软件设计与可行性验证

颗粒复合材料物理性能预测软件主要基于MATLAB/C++混合编程模式设计，计算核心模块包含了图像识别及轮廓提取、傅里叶描述子计算与逆变换、格林函数运算等，使用MATLAB设计了人机交互界面，如图1所示，其功能界面主要包含分析预设、材料属性赋值、细观结构参数化建模、功能参数选择和计算结果做图分析等。

本软件计算具体过程如下：选择复合材料基体与增强相材料属性的界面如图1所示，从主界面建立的材料库中直接导入基体材料和第二相材料的性质参数，并对颗粒复合材料不同相进行材料赋值。

细观结构分析目标参数设置界面，要首先通过主界面添加颗粒复合材料扫描电镜图像，在“重构设置”窗口中输入细观模型重构参数范围，自动生成不同参数下的颗粒复合材料细观模型，结果显示在“细观结构”可视化窗口，然后进行标尺设定。

通过“图像查看”功能可以选取参数，查看相应细观结构几何图像，最后在“分析设置”栏中输入所要分析的弹性性能与电导率参数范围，进入自动迭代计算。

图3和图4是以铜铬合金SEM图像作为几何模型，结果分析界面主要包括了计算结果可视化、单轴数据分析和数据导出，为了更加直观地进行性能分析，设计了三维曲面与单轴曲线交互分析的功能，即三维可视化窗口用于三个参数的组合分析。

而单轴分析则对三维曲面进行分解，改变“单轴分析控制面板”中两个细观结构参数中的某一个参数，二维可视化界面相应的结果显示也会同步改变，如图3与图4所示，在单轴分析控制面板设置结果显示参数范围，右侧二维曲线图显示相应结果，省去了对参数的反复设置与计算。

最后，软件还设计了数据导出功能，可以对任意细观参数组合的计算结果进行提取，在“数据导出”区域，当选定分析结构参数后，其物理性能计算结果直接导出至选定路径中，可供研究者直接获得。

通过白银有色集团股份有限公司和陕西宝光真空电器股份有限公司熔炼及检测设备，以CuCr25、CuCr30、CuCr35三种规格CuCr触头合金为研究对象，对模型体系的预测准确性进行实验验证。

图3所示为不同Cr平均粒径取值下，体积分数与CuCr合金有效弹性模量的定量关系，结果表明，CuCr合金的随颗粒体积分数的增加对其有效弹性模量有积极影响，在不同颗粒体积分数f的取值下，观察Cr平均粒径与CuCr合金有效模量的定量关系。

可以看出，在不同体积分数下，平均粒径对CuCr合金有效模量的影响不同，当Cr体积分数为20%时，其基体含量大，颗粒边缘轮廓较为圆滑，有效模量随颗粒平均粒径单调增加，Cr含量为25%时，随着颗粒平均粒径的增大，颗粒平均粒径与CuCr合金有效弹性模量并无明显关系。

但当Cr的体积分数超过25%时，随着颗粒平均粒径的增大，其对有效模量的影响呈现“先负后正”的趋势，这是因为基体含量逐渐减小，颗粒流动性随之减弱，颗粒的平均粒径在增大的过程中，颗粒凸角增多，颗粒尖角会对弹性模量造成减弱的效果，这些局部的凸角是造成弹性性能非单调曲线变化的主要原因，但随着平均粒径进一步增大，尖锐部分会被弥补。

如Cr的体分比为30%时，有效弹性模量随着平均粒径的增大出现“先降后升”的趋势，当Cr含量大于30%时，该现象会加剧，图4所示为不同Cr平均粒径取值下，体积分数与CuCr合金电导率的定量关系。

Cr与Cu的电导率不同，Cu电导率大于Cr，所以随着Cr含量增大，CuCr合金电导率减小，而平均粒径和电导率并无明显的线性关系。

该预测模型通过多物理场模拟软件COMSOL进行验证，具体步骤如下：（1）使用MATLAB将重构模型导出为CAD文件格式；（2）在COMSOL中首先进行几何模型导入，采用如图1中所定义的材料数值，根据不同相的材料进行区域设置；（3）定义材料属性，有效弹性性能的计算采用拉伸模拟方法，即底端固定，上顶边沿竖直方向施加定量位移载荷，限制横向自由度。

电导率模拟时设置左边界电压为1V，右边界为0V，其它两个边界设置为无通量；（4）、选择常规网格单元大小，添加分析物理场与分析参数进行计算与数据导出，其结果如图6所示为弹性性能预测可靠性验证，预测值与验证值的误差（Error）定义为|预测值-验证值| 预测值 100%，经过计算平均误差为0.2668%。

图7所示为电导率预测可靠性验证，经计算平均误差为0.87975%，弹性性能和导电性能的预测结果和验证结果平均误差均小于1%，可忽略不计，且预测值与验证值曲线变化基本一致，该预测模型可行性与可靠性得到验证。

结论

提出的任意形状夹杂物模型的计算方法，能够科学合理地表征第二相夹杂物的几何形状特征，提高了计算任意形状夹杂物的Eshelby张量的准确性。

推导颗粒形貌和细观结构与复合材料宏观性能之间的数学关系，建立了颗粒复合材料物理性能预测理论模型，该模型能够计算颗粒形态，大小和组分性能对复合材料有效性能的影响。

基于提出的计算模型，为了快速且方便操作，开发了一款颗粒复合材料物理性能预测软件，包含弹性模量和电导率两个物理性能计算模块，以铜铬合金为应用对象，对细观模型重构与性能预测结果进行分析，反映了该计算模型的有效性以及可靠性。