每日一道JAVA算法题：四元数计算

题目描述：

四元数是一种用来表示旋转的数学工具，它的基本定义为：$q = w + xi + yj + zk$，其中 $w, x, y, z$ 都是实数，而 $i, j, k$ 则是虚数单位，它们满足如下关系：

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

四元数可以表示为一个实部和一个向量的乘积：$q = w + mathbf{v}$，其中 $mathbf{v} = xi + yj + zk$ 是一个三维向量。旋转可以通过四元数乘法实现，假设有两个四元数 $p$ 和 $q$，它们的乘积定义为：

$pq = (w_p w_q - mathbf{v}_pcdotmathbf{v}_q, w_pmathbf{v}_q + w_qmathbf{v}_p + mathbf{v}_p imesmathbf{v}_q)$

其中 $cdot$ 表示向量点积，$ imes$ 表示向量叉积。例如，对于四元数 $p = 1 + i + 2j + 3k$ 和 $q = 4 + 5i + 6j + 7k$，它们的乘积为：

$pq = (-44 + 22i + 48j + 22k)$

现在给定一个初始四元数 $q_0$ 和一组旋转四元数 $q_1, q_2, dots, q_n$，请编写一个程序计算最终旋转后的四元数 $q_{final}$，其中：

$q_{final} = q_n q_{n-1} cdots q_2 q_1 q_0$

你可以使用任何你觉得合适的数据结构和算法实现。

输入：

• 初始四元数 $q_0$ 的实部和向量部分的值
• 旋转四元数 $q_1, q_2, dots, q_n$ 的实部和向量部分的值

输出：

• 最终旋转后的四元数 $q_{final}$ 的实部和向量部分的值

示例：

输入：

q0 = (1, 0, 0, 0)
q1 = (0.5, 0.5, 0.5, 0.5)
q2 = (0.5, -0.5, -0.5, 0.5)
q3 = (0.5, -0.5, 0.5, -0.5)
q4 = (0.5, 0.5, -0.5, -0.5)

输出：

qfinal = (-0.5, -0.5, -0.5, -0.5)

说明：初始四元数为 $(1, 0, 0, 0)$，依次输入 $n$ 个旋转四元数，将它们依次乘到初始四元数上，最终得到的四元数就是旋转后的四元数。其中，四元数的乘法满足如下公式：

$(w_1, x_1, y_1, z_1) imes (w_2, x_2, y_2, z_2) = (w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2, w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2, w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2, w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2)$

其中，$(w, x, y, z)$ 表示一个四元数，$w$ 是实部，$(x, y, z)$ 是向量部分。

因此，我们可以通过定义一个 QuaternionRotation 类来表示四元数，并实现乘法和旋转的操作。具体代码如下：

import java.util.*;

public class Quaternion {
    private double w, x, y, z;

    public Quaternion(double w, double x, double y, double z) {
        this.w = w;
        this.x = x;
        this.y = y;
        this.z = z;
    }

    public Quaternion multiply(Quaternion q) {
        double w1 = w * q.w - x * q.x - y * q.y - z * q.z;
        double x1 = w * q.x + x * q.w + y * q.z - z * q.y;
        double y1 = w * q.y - x * q.z + y * q.w + z * q.x;
        double z1 = w * q.z + x * q.y - y * q.x + z * q.w;
        return new Quaternion(w1, x1, y1, z1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 读取初始四元数
        System.out.print("请输入初始四元数的实部和向量部分：");
        double w0 = scanner.nextDouble();
        double x0 = scanner.nextDouble();
        double y0 = scanner.nextDouble();
        double z0 = scanner.nextDouble();
        Quaternion q0 = new Quaternion(w0, x0, y0, z0);

        // 读取旋转四元数
        System.out.print("请输入旋转四元数的个数：");
        int n = scanner.nextInt();
        Quaternion q = q0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.print("请输入第" + (i+1) + "个旋转四元数的实部和向量部分：");
            double w = scanner.nextDouble();
            double x = scanner.nextDouble();
            double y = scanner.nextDouble();
            double z = scanner.nextDouble();
            Quaternion q1 = new Quaternion(w, x, y, z);
            q = q.multiply(q1);
        }

        // 输出最终旋转后的四元数
        System.out.println("最终旋转后的四元数为：" + q.toString());
    }

    @Override
    public String toString() {
        return String.format("(%.2f, %.2f, %.2f, %.2f)", w, x, y, z);
    }
}

这段代码中，我们首先定义了一个名为 Quaternion 的类，它表示一个四元数，其中包含四个成员变量 w、x、y、z，分别表示四元数的实部和向量部分。

在 Quaternion 类中，我们定义了一个 multiply 方法，用于实现四元数乘法。它接受一个参数 q，表示要乘的另一个四元数，返回一个新的四元数，表示乘积。

在 main 方法中，我们首先读取初始四元数 q0，然后读取旋转四元数的个数 n，并依次读取 n 个旋转四元数，并将它们依次与初始四元数相乘，得到最终旋转后的四元数。

最后，我们使用 toString 方法将最终旋转后的四元数输出到控制台。

下面是一些示例输入和输出：

示例1：

输入：

输出：

示例2：

输入：

输出：

示例3：

输入：

输出：

这个算法题的解法并不是很复杂，但是需要一定的数学基础和理解。如果你想要深入了解四元数及其在计算机图形学中的应用，可以参考相关的教材和资料。