所有无穷大都一样吗？它甚至在现实世界中重要吗？

这些是 19 世纪乔治·康托 (Georg Cantor) 脑海中萦绕的一些问题。但即使在康托尔之前，无穷大在数学中一直扮演着至关重要的角色，更广泛地说，在哲学的发展中也扮演着至关重要的角色。让我们暂时搁置我们认为我们知道的东西，一起潜入无限概念的深渊。

没有人能将我们驱逐出康托尔为我们创造的天堂——大卫·希尔伯特

无限——难以捉摸的幽灵

自古以来，人类的精神就被无法在直觉层面上把握的事物所吸引。即使是最原始的人类也知道“五”这个数字代表什么。他只要看看自己的手，就能知道自己有多少根手指。

但是无穷大呢？这当然更难描述，因为它并不完全存在于我们的日常生活中。

在抽象层面上，无限表示永无止境的品质。某事的无限范围；空间、时间、数字，应有尽有。坦率地说，这是我们所能得到的最接近的定义。无穷大不是一个数字，它本身也不是一个数学实体。相反，它是一个概念。无限的概念。

基于此，当我们在生活中使用无限这个抽象概念时，我们用它来定义某个实体的无边界性质。

我们大多数人第一次接触到无穷大的概念是在我们童年学习数字的时候。我们在很小的时候就学会了如何数数。一、二、三、四……但到哪里结束呢？总有一个数字比我们想的要大，对吗？我们被教导说数字是无限的，尽管我们小时候从未真正想过这个数字。

无穷大的分类

让我们谈谈数字。我们知道哪些不同种类的数字？

我们有自然数、整数、有理数、实数和复数，我想我们在学生时代都记得这些。

所有上述集合本质上都是无限的。

但是它们的大小相同还是一组比另一组大？

自然数集和整数集都是无限的。但是整数肯定比自然数多，对吧？我的意思是它们实际上是它们的延伸。或者当这两个集合都是无限的时候一起讨论大小是愚蠢的吗？

Georg Cantor （1845-1918 年，一位才华横溢的德国数学家）是第一个积极研究这些问题及其含义的人。

基数

让我们从考虑一组的一个特定属性开始我们的探索，我们将其称为基数（或基数）。

粗略地说，集合的基数是它包含的元素的数量。

例如，集合S = {-1, 3, orange, *, p} 的基数为 5，因为它包含 5 个元素，而集合Q = { 0, 1, 2, 3}的基数为 4 .

基数的概念起初似乎微不足道。如果一个人能真正计算出一个集合中包含的元素的数量，那么它的基数就很容易确定。

但是，如果不可能对集合中的所有元素进行计数怎么办？非有限集的基数是多少？

可数无穷大

自然数是一个非有限集。因此，它们的基数不可能是有限数。出于这个原因，引入了一个新符号，称为 Aleph zero。

在数学符号中，我们写C(N) = ℵ0 — 自然数集的基数是 aleph 零 —。

请注意，aleph 零不是通常意义上的数字。我们不能有 aleph 零苹果。它是一个符号，一个抽象的概念，用来表示自然数的基数。

考虑到这一点，给出以下定义似乎是合乎逻辑的：

集合 S 的基数为 ℵ0 当且仅当 S 的元素可以与自然数集合成 1-1 对应关系。这样的集合通常称为可数的。

好的，我们已经处理了自然数。那整数集呢？它的基数是多少？

事实证明所有整数的集合都是可数的！为了看到这一点，我们可以创建以下安排。

正如我们所看到的，在所有自然数的集合和所有整数的集合之间显然存在 1-1 的对应关系。如果需要，我们甚至可以写下一个公式：如果 n 是偶数，则整数 = n/2；如果 n 是奇数，则整数 = n/2。因此，我们得出结论，整数的基数也是 Aleph 零，ℵ0，即它们的集合与自然数集合具有相同的大小。

乍一看，这似乎非常违反直觉。但是它们怎么可能有相同的大小呢？整数包含所有自然数及其所有对立面。如果有的话，它应该是 N 的两倍，对吧？

当有人试图解决无穷大的概念时，这就是问题所在。我们经常会得出一些反直觉的结果，我们必须建立一个坚实的逻辑和数学框架来解释它们。

由于我们无法直接计算无限集的大小，因此我们创建了一种度量来比较它们。我们在这个模型中的基础是自然数集，并且取决于一个集合是否可以映射到 1-1 对应关系中的那个集合，我们决定它的基数。

用稍微复杂一点的图，我们可以证明有理数集也是可数的。但是真实的数字呢？

康托尔的对角化和不可数无穷大

我们来玩个小游戏吧。

假设 0 和 1 之间的所有实数的非有限集 [0,1] 是可数的。如果是这样，那就意味着我们可以创建一个无限列表，其中包含该集合中的每个数字。十进制表示法列表的示例如下：

在其集合元素的左侧，我们加入了一个自然数，因为我们假设它们之间存在 1-1 的对应关系。

现在是聪明的部分。令k为如下获得的数。

对于每个n N，令N的nᵗʰ小数点等于列表中nᵗʰ数的nᵗʰ小数点+1，若该数小于9，则令其为0，若该数等于9. 简单来说，数字 k 是通过将上面列表中的第一个数字的第一位数字加一，第二个数字的第二位数字加一，等等。如果这些数字中的任何一个是 9，则k 的相应数字将为零。

在我们的示例中，k = .9340255… ..。 通过构造，k 不同于我们列表中的每个数字，因为它不同于 nᵗʰ 数字到 nᵗʰ 小数。这意味着我们构建的列表是不完整的，这与我们最初的假设相矛盾，即与自然数集存在 1-1 对应关系。因此，[0,1] 是不可数的，通过简单展开，实数集也是不可数的。

连续统假说

好的，我们确定了实数集是不可数的。实数集的基数也称为连续体的基数，用c表示。

连续假设断言 c 等于 aleph-one，下一个基数；也就是说，不存在基数介于 aleph-null 和 aleph-one 之间的集合。

事实证明，连续统假设是不可判定的……但那是另一个故事了。