三角函数系中隐藏的“秘密”

单刀直入，三角函数系1，cos x，sin x，cos 2x，sin 2x，cos 3x，sin 3x，…，cos nx，sin nx，…有一个非常重要的性质：他们当中任意两个不同的函数的乘积在区间[-π，π]上的积分等于0。即

而两个相同函数的乘积在区间[-π，π]上的积分不等于0。除了1 1在区间[-π，π]上的积分等于2π，sin nx乘以sin nx和cos nx乘以cos nx在区间[-π，π]上的积分都等于π，此处n为大于0的自然数。即

正是因为知道了这个性质，当把函数展开成傅里叶级数时，傅里叶系数的确定就变得简单多了。

假如一个以2π为周期的周期函数f(x)，能展开成傅里叶级数，如下

当然对于这个函数能展开成傅里叶级数的条件，并不是我们今天讨论的重点，我们只是假设其能展开成傅立里级数，只是不知道傅里叶系数a₀，a₁，b₁，a₂，b₂…的值是多少，想求之。

我们想求aₙ，只要令f(x)乘以cos nx，在区间[-π，π]上的积分一下就会得到一份惊喜。（其中想求a₀得让f(x)乘以cos0即1）

我们想求bₙ，只要令f(x)乘以sin nx，在区间[-π，π]上的积分一下同样会得到一份惊喜。

这样我们就求得了傅里叶系数。

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