引入

大约在公元40年左右，亚历山大的数学家海伦注意到，当光在两点之间移动时，尽管有许多可能的路径，但是它会沿着最短路径移动。他提出了最小距离原理来定义光的路径。但是，最小距离原理在折射现象中并不会起作用。在一千多年之后，费马为折射现象提出了一个解决方案：光沿着时间最短的路径传播。凭借着最短时间原理，费马能解决几乎所有光学领域的问题。

在这个故事中，科学家似乎发现了自然界中一个强大的指导模式——最小化原则。那时的科学家想：如果有一种类似的特性可以最小化来确定光和物质的轨迹，那该有多好。欧拉在这方面也做出了努力，他考虑了涉及能量和动量的性质，但都无济于事。与此同时，艾萨克·牛顿提出了他的运动定律，这给了我们解释宇宙中所有粒子运动的可能性。

利用牛顿定律，我们需要知道每个物体在每个时刻的精确矢量力，这样我们就能计算出每个物体在每个时刻的加速度、速度和位置。这种方法对于在空中飞行的球来说非常合适，但是对于复杂的系统，计算量将是非常可怕的。因此，我们需要一个更简单的指导原则。

最小作用量原理

如果我们以能量来考虑空中飞行的球，那么我们可以在没有令人烦恼的向量中描述该运动。使用能量可以计算出很多信息，例如球的上升高度，但因为能量不包含方向信息，所以不能确定确切的路径。拉格朗日意识到动能和势能的组合具有与光路时间相同的最小化特性，他发现球将始终遵循使这些能量之间的时间平均差异最小化的路径。

换句话说，将球飞行过程中每个时刻的动能和势能之差加起来，你会得到一个数值，真实飞行路径的这个数值比其它路径的数值还要小。拉格朗日把这个新的量称为作用量，在形式上它是动能减去势能随时间的积分，而动能和势能之差被称为拉格朗日量。

拉格朗日提出，自然界的一切都是以这样一种方式发生的，即作用量总是被最小化的，这又被称为最小作用量原理。一个世纪后，威廉·哈密顿做出了重要的修正，作用量总是被最小化或最大化。在绝大多数情况下，它是最小值，以至于人们仍然称它为最小作用量原理。

拉格朗日力学

如果最小作用量原理是正确的，那么就有可能计算出任何物体在两点之间的路径。幸运的是，欧拉和拉格朗日已经为我们完成了大部分的工作，让我们可以通过欧拉-拉格朗日方程来最小化作用量。最小化作用量和欧拉-拉格朗日方程相结合，导致了拉格朗日力学。

当你从牛顿力学转向拉格朗日力学时，你会发现这简直就是个神器。使用纯牛顿来解决问题所需要的极其复杂的方程变成了更为简单的形式，这种简单性来自于拉格朗日力学可以不考虑力和矢量。如果最小作用量原理是非常基础的，那么除了经典力学之外，它应该也能用在广义相对论上。

在广义相对论中的应用

爱因斯坦发展广义相对论的动机之一是，牛顿力学未能正确预测水星的轨道。如果用爱因斯坦方程来计算水星轨道，得到的结果符合我们对水星近日点进动的观测值。如果最小作用量原理真的是一个基本定律，那么它应该有一个相对论版本，我们可以最小化它来找到水星的轨道。毕竟，行星在其轨道上运行时，能量会在势能和动能之间进行交换，就像我们所讨论的球一样。

事实证明，我们只要进行一些相对论修正就可以做到这一点。在这里，最重要的是要把拉格朗日量写成固有时的函数。在相对论中，时钟以不同的速度运行，这取决于相对速度和在引力场中的位置等因素，而固有时是物体在自己的参照系中所感知到的时间。如果将相对论拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，就会得到正确描述水星绕太阳运动的轨道。

事实上，通过这个例子，我们也开始了解了作用量的本质。应用相对论进行修正，作用量就简化成一个固有时的积分。之前，作用量是一个关于能量变化的模糊概念，但利用更为精确的宇宙模型，我们就会发现作用量是观察者在自己参考系中感知到的时间的多少。所有在时空中运动的物体所经过的路径，都是在该路径上所测量到的时间最小化。

最小作用量原理可以用在广义相对论，那么它可以用在量子力学吗？答案是可以的。