托勒密定理及其应用

托勒密定理

古埃及天文学家托勒密(~100-168)，在他的著作中不仅描述了行星理论，还包含许多数学三角和几何的知识，在书中，他还给出了π的近似值为377/120，并证明了现在以他的名字命名的定理。

设一个凸四边形ABCD内接一个圆中，那么两个对边的乘积的和等于它两条对角线的乘积。换句话说,：AD BC+AB CD=AC BD.

证明：

在对角线上BD定位一个点M，使角ACB和角MCD相等。由于角BAC和BDC对同一条弧，所以它们相等。因此三角形ABC和DMC是相似的。得到

CD/MD=AC/AB，或

AB CD=AC MD (1)

角度BCM和ACD也是相等的;因此三角形BCM和ACD相似，得到

BC/BM=AC/AD，或

BC AD=AC BM。 (2)

把(1),（2））两个等式加起来就得到了

AB CD + BC= AC MD + AC BM = AC BD

AB CD+BC AD=AC MD+AC BM=AC BD

托勒密定理可以推出一个有用的不等式:对于四个点a, B, C, D，并不一定是共圆的点，

AB CD+BC AD AC BD

这就是众所周知的托勒密不等式。

托勒密定理的应用

利用托勒密定理可以证明三角的和差化积公式。如图BC经过圆心，则角BAC=90 角BDC=90 , BC=1, 直接带入托勒密公式就有：

为了证明正弦的两个角的差公式，让边BC作为直径，使BC=1，则角BAC=角BDC=90 , 利用直角三角形得出各边长，带人托勒密公式就证明出：