§14．3．1．1  等腰三角形

§14．3．1．1  等腰三角形
    教学目标
    1．等腰三角形的概念．
    2．等腰三角形的性质．
    3．等腰三角形的概念及性质的应用．
    教学重点
    1．等腰三角形的概念及性质．
    2．等腰三角形性质的应用．
    教学难点
    等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
     教学过程
    ⅰ．提出问题，创设情境
    在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质， 并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形， 还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
   有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
  问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
    满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形， 也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
    我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形 等腰三角形．
    ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
        
   
作一条直线l，在l上取点a，在l外取点b，作出点b关于直线l的对称点c，连结ab、bc、ca，则可得到一个等腰三角形．
    等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
    思考：
    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
    2．等腰三角形的两底角有什么关系？
    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 底边上的高所在的直线呢？
    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
    要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
    沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等， 而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
   由此可以得到等腰三角形的性质：
    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
    由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
    如右图，在 abc中，ab=ac，作底边bc的中线ad，因为
    
    所以 bad cad（sss）．
    所以 b= c．
   ]如右图，在 abc中，ab=ac，作顶角 bac的角平分线ad，因为
    
    所以 bad cad．
    所以bd=cd， bda= cda= bdc=90 ．
   [例1]如图，在 abc中，ab=ac，点d在ac上，且bd=bc=ad，
求： abc各角的度数．
   分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
a= abd， abc= c= bdc，
再由 bdc= a+ abd，就可得到 abc= c= bdc=2 a．
再由三角形内角和为180 ， 就可求出 abc的三个内角．
   把 a设为x的话，那么 abc、 c都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
      解：因为ab=ac，bd=bc=ad，
    所以 abc= c= bdc．
    a= abd（等边对等角）．
    设 a=x，则
    bdc= a+ abd=2x，
    从而 abc= c= bdc=2x．
    于是在 abc中，有
    a+ abc+ c=x+2x+2x=180 ，
    解得x=36 ．
    在 abc中， a=35 ， abc= c=72 ．
    [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
    ⅲ．随堂练习
    （一）课本p141练习 1、2、3．
    （二）阅读课本p138 p140，然后小结．
  ⅳ．课时小结
    这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
    我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
  ⅴ．作业
   （一）课本p147 1、3、4、8题．
   课后作业： 课堂感悟与探究
       板书设计
   
14．3．1．1  等腰三角形（一）
    一、设计方案作出一个等腰三角形
    二、等腰三角形性质
    1．等边对等角
    2．三线合一

    参考练习
    一、选择题
    1．如果 abc是轴对称图形，则它的对称轴一定是（  ）
      a．某一条边上的高;               b．某一条边上的中线
      c．平分一角和这个角对边的直线;   d．某一个角的平分线
    2．等腰三角形的一个外角是100 ，它的顶角的度数是（  ）
      a．80     b．20     c．80 和20      d．80 或50
      答案：1．c   2．c
    二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
      求这个等腰三角形的边长．
    解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
        2（x+2）+x=16．
       解得x=4．
   所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．