伽利略的难题

在这个大千世界中，数学无处不在，不仅仅在我们的学习中会用到数学，在买东西的时候也能用到数学，讲笑话的时候也能用到数学，说故事的时候也可以用到数学…… 　
　　伽利略是16世纪~17世纪的意大利物理学家。他对自由落体的研究，至今是物理教科书的重要内容。可是很多人不知道他也曾经提出过一个非常有意义的数学问题。这个问题就是：自然数多呢还是完全平方数多呢？自然数有：0,1,2,3,4……是无穷无尽的，而它们的平方数：1,4，9,16……也是无穷无尽的。这两串数之间，能不能比较出它们的多少呢？ 　
　　这确实是一个大胆的问题，伽利略提出了一个别开生面的问题，并且试图去解决它，真不愧是一个思想解放的伟大科学家。他那时是这样想的：在前10个自然数中，只有1,4，9三个平方数：在前100个自然数中则有10个数是平方数：在前10万个自然数中有100个数是平方数……可见平方数只是自然数的一个部分，说明平方数比自然数少。可是，每个自然数平方一下，就会得到一个平方数：而这每个平方数加上个开方号，就全是自然数。难道1²，2²，3²，4²，5²……会比1,2,3,4,5……少吗？一个对一个，一点也不少啊，伽利略感到疑惑了，他并没有找到解决的办法，就把这个问题留给了后人。 　
　　伽利略提出的问题，其实并没有收到很多人的重视。大家似乎认为：这是一个没有意义的问题。时隔200年之后，德国的数学家康托尔做出了回答，自然数和平方数一样多，因为能够一一对应就是一样多，，一个数变一变，另一个相对应的数也会跟着变化，这就是比一一对应。 　
　　康托尔认为：看两种无穷极元素是不是一样多，标准也只有一个--一一对应。能建立一一对应，就应当承认它们的个数一样多。自然数和平方数就有一一对应的关系：1,2,3,4,5……那么1²，2²，3²，4²，5²…… 　
　　伽利略也不会想到，他的问题竟然如此简单，是啊，当我们知道了它们的答案的四年后，都似乎变得简单了。 　
　　故事中的数学，可以使我们从中得到许多启示。