引言

在太阳系的九大行星中,冥王星是比较奇特的一颗。它的轨道倾角为17度,使得它的轨道面远离其它行星的轨道面。它的偏心率达到0.25,这使得它的近日点落在海王星的轨道内,有可能受到大的摄动,从而导致其运动的不稳定性。

Cohen & Hubbard (1965)发现在冥王星和海王星之间存在着一个3:2的平运动共振,其共振角3λ-2λN-ω-Ω在180度附近摆动(这里λ,ω和Ω分别为冥王星的平经度,近日点幅角和升交点经度,λN为海王星的平经度),振幅大约为76度,周期为19670年。这一共振使得冥王星在最接近海王星时不在其近日点。

Kozai (1962)在小行星的运动中发现近日点幅角在90或270度附近振动,并伴随着偏心率和轨道倾角的振动。这种共振被称之为Kozai共振。 Williams & Benson (1971)在冥王星的运动中发现了这一共振,近日点幅角ω在90度附近摆动,其振幅约为24度,周期为3955000 20000年。Kozai共振使得冥王星在近日点远离其它行星的轨道平面。

此外,Williams & Benson 还指出冥王星和海王星的升交点经度差Ω-ΩN的进动周期与ω的秤动周期之间发生共振。Milani, Nobili & Carpino (1989)也发现了这种共振,并称之为1:1超级共振。Kinoshita & Nakai (1996)在他们长达55亿年的数值积分中证实了这三种共振,并指出当Ω-ΩN为0度时ω为90度,偏心率达到最小值,轨道倾角为最大值;当Ω-ΩN为180度时ω为90度,偏心率达到最大值,轨道倾角为最小值。这样进一步避免了冥王星和海王星的紧密接近。

Sussman & Wisdom (1988)在对冥王星的8.45亿年的数值积分中发现冥王星的运动是混沌的,其最大Lyapunov指数为10-7.3年-1,这并不表明冥王星的运动是不稳定的。这一点也被Kinoshita & Nakai (1996)所证实。

在新发现的Kuiper带小行星中,有相当一部分是穿越海王星的小天体。其中大约35%处于或接近与海王星的3 2平运动共振,被称之为微冥王星(Plutino)。

因此研究共振区的大小将会有助于了解其运动的稳定性。Malhotra(1996)用平面圆型限制性三体问题作为模型对海王星的共振区进行了研究,发现几个主要的平运动共振在半长轴上的区域大小约为0.6AU。此外,除了2 1和3 1共振之外,其它共振的振动周期随着振幅的增加而减小。

我们主要通过大量数值模拟来了解初始轨道根数、三个类木行星以及参考坐标系对三个共振的影响,其中对1:1超级共振的研究已基本完成。

数值模拟及其结果

模型和数值方法

我们采用的太阳系模型是由太阳和5颗外行星组成,其它4颗内行星的质量被加在太阳质量上。太阳和行星的初始质量、位置和速度取之于历表DE234(Standish 1993),其初始历元为1969年6月28日。

由于初始条件是在J2000.0日心平赤道坐标系中给出,它们被转换到日心不变平面坐标系中。原点的选取确保平赤道与不变平面的交点在两个坐标系中具有同样的经度。

图1 3 2共振、Kozai共振和1 1超级共振在108年内的变化情况Figure 1

Wisdom & Holman (1991)针对太阳系的n体问题提出一种改进的新方法。他们将哈密顿分成开普勒和相互作用的两部分。前者可作为二体问题进行精确解;而后者含有行星质量与太阳质量之比μ这一小因子。

因此对于同样的精度要求,改进后的步长可增至原来的μ-1/(o+1)倍,其中o为方法的阶数。对长时间的数值积分来讲,这就节省了大量的时间。

我们主要是对这三个共振进行定性分析,因此选取了这种改进的二阶辛方法。所有的数值模拟均是采用SunOS上的FORTRAN77双精度运算,其步长为350天,积分的时间跨度为108年。图1为在108年的数值积分中三个共振的变化情况,左上图为开始106年内的3 2共振,周期为20050年,最大振幅为84 度;左下图为Kozai共振,周期为3.784 106年,最大振幅为25度;右图为1 1超级共振。

图1 3 2共振、Kozai共振和1 1超级共振在108年内的变化情况Figure 1

轨道根数空间中的共振区大小

为了找到三个共振在轨道根数空间的边界,我们逐步地改变冥王星的一个轨道根数而保持其它根数不变,然后进行数值积分。对于3 2平运动共振和Kozai共振,我们将其共振摆动是否存在作为判据。

正如背景介绍中所提,1 1超级共振的出现是由于Ω-ΩN的变化周期与ω的秤动周期发生耦合。因此,我们将两个共振角的相位差在积分时间内达到π作为破坏1 1共振的判据,即它们的周期差达到8 104年。

我们分别采用简单的正弦曲线与直线作为模型来拟合ω与Ω-ΩN,从而确定它们的周期。对于真实的冥王星来讲,在108年内它们的周期分别为3.784 106 271年和3.787 106 128年,与Milani,Nobili & Carpino (1989)的结果相吻合。对于初始条件发生变化的情形,拟合周期的相对误差小于10-3,从而能较准地定出1 1超级共振的边界。

在轨道根数空间中,1 1超级共振的区域最小,包含在Kozai共振区中;而3 2共振的区域最大,包含了Kozai共振区。例如对半长轴来说,超级共振区是从39.56AU 到39.82AU;3 2共振区是从39.40AU到39.97AU ;Kozai共振区是从39.52AU到39.86AU,处于两者之间。

从中可以看出3 2共振在半长轴上的区域大小约为0.6AU,与Malhotra (1996)的理论结果相吻合。1 1超级共振区被包含在Kozai共振区内则与1 1超级共振为Kozai共振的次级共振这一事实相一致。

我们对1 1超级共振进行了进一步的研究,发现冥王星的轨道根数并不处于超级共振区的中心。图2为我们在半长轴与偏心率的2维参数空间的共振区域中心进行的数值模拟。从图中可以看出ω的振幅变化非常小,而且Ω-ΩN与ω的周期非常接近。

在研究了初始轨道根数对振动周期的影响之后,我们发现越靠近共振区域的边缘,ω的秤动周期和振幅都随时间有越来越大的周期性变化。它的周期在轨道倾角i的秤动周期和Ω-ΩN的变化周期之间变化。

3类木行星对共振的影响

为了了解类木行星对各个共振的影响,我们人为地将木星、土星和天王星从模型中一一去除后再对剩余的5体问题进行数值积分。结果表明在缺少任何一颗类木行星的情况下1 1超级共振都将被破坏,在分别拿走木星和土星后3 2共振不再存在,而木星则影响Kozai共振的存在。

由于3颗类木行星都影响1 1超级共振的存在,我们逐步减少3颗行星的质量直至1 1共振被破坏从而确定出影响最大的一颗行星。当木星、土星和天王星的质量分别降至真实质量的43%、39%和37%时,1 1超级共振被破坏。结果还表明类木行星质量的减少导致了ω振动周期和振幅的增加。

坐标系的选取与1 1超级共振

在轨道根数中i、Ω-ΩN与ω的计算与坐标系有关,因此坐标系的选取对1 1超级共振会产生影响。我们考虑了以不变平面以及其绕与平赤道交线旋转的一系列平面为基本面的坐标系,发现在旋转角α超越16 时ω变为环动而Ω-ΩN转成摆动。α处于1 至16 之间时,ω为摆动,Ω-ΩN为环动,但两者的周期不同。当α减小至0.7 时, Ω-ΩN的周期出现跳跃而接近ω的周期。

此外,我们还考虑了平黄道坐标系,发现在这一坐标系中1 1超级共振不再表现出来。

总结和展望

我们采用太阳和5颗外行星为模型,研究了共振在轨道根数空间的区域以及其它一些影响共振的因素。大量的数值积分被用来寻找共振区的边界,结果表明在超级共振刚被破坏时Kozai共振仍然存在。这一事实则证实1 1超级共振为一次级共振;3 2平运动共振则是三个共振中最重要的一个。在三颗类木行星中,木星的存在与否影响三个共振,土星影响到3 2共振和超级共振的存在,而去除天王星则超级共振被破坏。通过选取不同的坐标系,我们发现只有在不变平面坐标系中,1 1超级共振才体现出来,而不变平面与海王星随时间的平均轨道面几乎重合。

下一步的工作是寻找一个合适的力学模型,如Malhotra (1996)对处于海王星共振区的小行星所采用的平面园型限制性三体问题的模型,从而能够对这三种共振进行系统的理论分析,来解释我们所得到的数值结果。同时也要对Kuiper带小天体的轨道演化作更深入的讨论。

这项研究得到了国家自然科学重点基金和小行星基金的支持。

参考文献

[ 1 ]　Cohen&Hubbard.,Astro.J.,70 ( 1 964 ) 1 0

[2 ]　Kinoshita&Nakai.,Earth ,MoonandPlanets,72 ( 1 996) ,1 63

[3 ]　Kozai,Astro.J.,67( 1 962 ) ,591

[4 ]　Malhotra,Astro .J.,1 1 1 ( 1 996) ,50 4

[5] 　Milani,Nobili&Carpino.,Icarus.,82 ( 1 989) ,2 0 0

[6] 　Sussman&Wisdom .,Science.,2 57( 1 988) ,56

[7] 　Williams&Benson.,Astro.J.,76( 1 971 ) ,1 67

[8] 　Wisdom&Holman.,Astro.J.,1 0 2 ( 1 991 ) ,1 52 8