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摘 要：

针对冻融循环下饱和岩石，提出冻融损伤与岩石基质受载塑性损伤耦合的损伤变量计算方法。之后基于修正Drucker-Prager帽盖屈服准则，推导出考虑岩石基质塑性损伤演化的本构模型，而后考虑冻融对岩石力学性能的劣化作用，建立了冻融循环下考虑塑性损伤演化的饱和岩石本构模型。最后采用冻融循环下花岗岩单轴压缩实验结果对所提模型进行了验证。结果表明：(1)冻融循环会造成岩石的初始损伤，且初始损伤随冻融循环次数的增大而增大；(2)岩石基质受载损伤与冻融损伤两者耦合，会增大试件的损伤程度，进而加速岩石力学参数的劣化；(3)模型预测岩石单轴抗压强度随冻融循环次数的增大而降低，理论值与实验值吻合良好，证明了该模型的有效性。

关键词：

冻融循环;本构模型;塑性损伤;饱和岩石;Drucker-Prager帽盖模型;

作者简介：

王中明(1982—),男，实验师，硕士，从事土木工程方面的研究与教学工作。

基金：

国家重点研发计划项目(2019YFC1509701);

引用：

王中明, 赵雨霞, 祝凤金. 冻融循环下考虑塑性损伤演化的饱和岩石本构模型[ J] . 水利水电技术(中英文), 2022, 53( 11): 155- 162.

WANG Zhongming, ZHAO Yuxia, ZHU Fengjin. Plastic damage evolution-considered constitutive model of saturated rock under freezingthawing cycle[J]. Water Resources and Hydropower Engineering, 2022, 53(11): 155- 162.

0 引 言

大量研究成果表明冻融循环下岩石的物理力学性质将不断劣化,并对隧道等岩体工程造成不利影响。而随着我国“一带一路”战略的推进，沿线涉及大量高寒高海拔地区岩体工程建设项目，因此研究冻融作用下岩石的损伤力学特性具有重大工程意义。目前已有许多学者分别采用实验、理论和数值模拟等多种手段对此进行了研究，如TAN等对冻融循环下花岗岩力学性能劣化进行了实验研究，分析了冻融次数与力学参数如强度、变形特性、弹性模量等之间的关系。KHANLARI等指出循环冻融作用下岩石强度的劣化率与孔隙特征有关，如孔径和孔隙形状等。此外，饱和泥质砂岩试样受冻融循环后产生大量次生裂隙。路亚妮等采用水泥砂浆类岩石材料制作裂隙岩体试件，并分析了单轴压缩条件下试样的冻融损伤破坏模式。而低温下含水砂岩SHPB压缩实验结果表明，不同温度条件下砂岩动态抗压强度和弹性模量均表现出显著差异。李金明等研究了温度和围压对饱水风化花岗岩强度和变形的影响，结果表明两者对花岗岩试样破坏形态影响机制不同。在微观方面，部分学者采用数字图像技术和电子显微镜扫描分析了岩石试样在冻融作用下孔隙结构的演化过程。

在理论研究方面，袁小清等针对寒区节理岩体，提出了冻融塑性损伤，由此建立了冻融循环下宏细观缺陷耦合的岩体损伤本构模型。孟祥振等分析了孔隙岩石各阶段变形和破坏特征，建立了以孔隙率表征岩石体积变化和Weibull分布特征的含孔隙冻融岩石的损伤本构模型。HUANG等采用Mohr-Coulomb准则分析了饱和多孔脆性材料在冻融过程中的弹塑性行为，并通过砂岩和水泥砂浆试件验证了模型的有效性。YANG等通过片麻岩循环冻融实验，提出了变参数蠕变损伤模型用以预测岩体时变非线性变形特征。基于细观力学和损伤力学，LIU等提出了冻融循环条件下岩石压缩损伤本构模型。

但上述本构模型一般只关注冻融作用下微孔隙扩张造成的塑性损伤或节理等宏观损伤，没有考虑岩石基质在冻融和受载过程中塑性演化损伤。如袁小平等提出了考虑岩石基质塑性损伤演化的本构模型，其结果表明考虑岩石基质塑性损伤演化的预测曲线与岩石应力应变峰后段耦合良好，而袁小清等因未考虑岩石基质的塑性损伤演化特性，导致预测曲线的峰后段与试验曲线差别较大。为此本文在前人的基础上，基于修正Drucker-Prager帽盖屈服准则，提出冻融作用下考虑岩石基质塑性损伤演化的饱和岩石本构模型，并与实验结果进行对比验证。

1 损伤变量的定义

根据袁小清等的研究，循环冻融下岩石试样的物理力学参数会发生劣化，在宏观上表现为弹性模量的降低，因此可通过弹性模量定义冻融损伤变量；其次，岩石基质在受载作用下，也会发生劣化，并假定岩石微元强度服从指数分布,由此提出了考虑冻融损伤和受载损伤的耦合损伤公式为

式中，D1为第j次冻融作用后的损伤变量；D2为岩石基质受载损伤变量；Ej为初始岩石试样在第j次冻融作用后的弹性模量，随着冻融次数的增加而不断变化，Ej可以通过实验确定；E0为初始岩石试样未冻融前的弹性模量；n为分布参数；εv和ε0分别为体积应变和体积应变阀值。

上述公式的推导详见文献[15]和[22]。

2 考虑塑性损伤演化的饱和岩石弹塑性本构模型

由连续介质损伤力学理论，对受冻融作用的饱和岩石试样，其内部细观孔隙可用式(1)所得损伤变量进行描述，而由Lemaitre应变等效原理可建立名义应力与真实应力之间的关系为

式中，σij为名义应力；σ ij为真实应力，为岩石试样净截面上实际应力的等效平均值。

由应变等效原理，可得真实应力空间中真实应力与应变的关系为

式中，Deijklijkle为岩石弹性刚度矩阵；εeijije为岩石弹性应变；εij为岩石总应变；εpijijp为岩石塑性应变，可由经典塑性理论确定。

2.1 考虑损伤的岩石基质弹塑性描述

2.1.1 屈服函数

参照袁小平的研究，采用修正Drucker-Prager帽盖屈服准则，建立考虑损伤演化的岩石基质弹塑性方程。D-P帽盖模型的屈服面由剪切屈服面和帽盖屈服面组成如图1所示。

图1 修正D-P帽盖模型的屈服面

基于修正D-P帽盖模型，考虑损伤的剪切屈服面为

式中，p为等效压应力；q为广义剪应力；J2为第二偏应力不变量；r为应力参数；β为控制屈服面形状的参数；D为损伤变量；k为拉压异性参数；d为岩石基质硬化函数；σc为岩石单轴抗压强度；σt为岩石单轴抗拉强度；dc为岩石摩擦硬化或软化塑性内变量。

由文献[24]可以表示为如下关系式

式中，a1、a2和a3均为正常数；γ为等效塑性剪应变；I1为第一应力不变量；εpijijp为塑性应变；εpvvp为塑性体积应变；δij为克罗内克尔符号。

dc随γ的变化如图2所示。

图2 塑性硬化/软化关系曲线

考虑损伤的帽盖屈服面为

式中，R为椭圆短轴与长轴之比，是描述帽盖几何形状的参数；pb为帽盖面与p轴的交点，称为静水压缩屈服应力或者平均压缩屈服应力，控制了帽盖的大小；pa是帽盖面与过渡面交点对应的p值。

pa由下式确定

2.1.2 塑性势函数

与屈服面类似，将塑性势面也分为剪切塑性势面和帽盖塑性势面，其中剪切塑性势面采用关联流动法则

帽盖塑性势面采用非关联流动法则

2.1.3 考虑损伤的岩石基质弹塑性应力-应变关系

由弹塑性增量理论，总应变增量可以分解为弹性应变增量和塑性应变增量两部分，即

式(11)中，弹性应变增量可由式(2)和式(3)确定，塑性应变增量由流动法则确定如下

式中，Deijkl为岩石基质弹性刚度矩阵；dλ为塑性乘子。

Deijkl的表达式为

将式(14)代入式(6)可得等效塑性剪应变与塑性乘子的关系为

由剪切屈服面与帽盖屈服面服从一致性条件，可得

将式(15)代入式(16)可得

又因为

dσij=Deijkl(dεij dεpij)         (18)dσij=Dijkle(dεij-dεijp)         (18)

联立式(13)、式(17)和式(18)可得

又因为

联立式(13)、式(18)和式(19)可得考虑损伤的岩石基质弹塑性应力应变关系如下

2.2 考虑损伤的岩石弹塑性描述

由袁小平的研究可知，上述考虑塑性损伤演化的本构方程能够较好地描述峰后岩石力学特性，但不能够反映峰前岩石随损伤变化的力学特征。因此，根据袁小清的研究结果，结合式(2)和式(3),对式(20)进行修正可得

式(21)即为冻融作用下考虑塑性损伤演化的饱和岩石弹塑性本构模型，其中在峰值应变前及峰值应变后，应力应变曲线分别符合剪切面本构关系和盖帽面本构关系。

3 算 例

以TAN等的花岗岩循环冻融实验结果对本模型进行验证，所用花岗岩主要参数为：初始弹性模量E0=37.52 GPa, 初始泊松比ν0=0.25,初始孔隙率n0=0.006 7,黏聚力c=27.43 MPa, 内摩擦角φ=45.4 ,单轴抗压强度σc=135.73 MPa。根据实验测得弹性模量与冻融循环次数的耦合公式为

3.1 损伤变量的演化

将式(22)代入式(1)可得饱和岩石试样损伤变量D1与循环冻融次数的关系如图3(a)所示。对于受载条件下岩石基质，若不考虑损伤演化，取n=0,此时D2=0;若考虑损伤演化，取ε0=0.001,n=600,此时D2与体积应变的关系如图3(b)所示。由图3(a)可知，冻融损伤变量随冻融次数的增加而逐渐增大，但递增幅度逐渐趋于平缓。由图3(b)可知，当岩石基质在弹性变形范围内，不产生任何损伤；当岩石基质开始进入塑性屈服时，则产生受载损伤，其损伤变量随体积应变的增大而不断增大，并逐渐趋于1。将两者综合考虑，可得不同冻融循环次数条件下岩石试样耦合损伤变量的关系如图3(c)所示。可以看出，冻融作用会造成岩石的初始损伤，且初始损伤随冻融循环次数的增大而增大。岩石基质受载损伤与冻融损伤两者耦合，会增大试件的损伤程度，进而加速岩石力学参数的劣化。

图3 岩石损伤变量的演化规律

3.2 岩石试样应力-应变关系

将损伤变量和岩石力学参数代入式(21)可得花岗岩应力-应变关系曲线，并与实验结果和其他学者理论模型进行对比验证(见图4)。可以看出，本文预测的冻融作用下考虑塑性损伤演化的饱和岩石应力-应变关系模型与实验结果符合良好。循环冻融次数N依次为0、50、100和150时，本文模型预测岩石试件单轴压缩峰值抗压强度依次为132.95 MPa、86.70 MPa、70.22 MPa和58.87 MPa, 实验平均值依次为135.73 MPa、82.65 MPa、69.73 MPa和55.92 MPa, 理论结果与试验值误差依次为-2.05%、4.90%、0.70%和5.28%。同时随着冻融循环次数的增大，岩石试样抗压强度依次降低，当N依次增大到50、100和150时，岩石试件峰值强度降低幅度理论值依次为34.79%、47.18%和55.72%,实验值依次为39.11%、48.63%和58.88%,理论值与实验值基本吻合。由此可知，该模型通过采用分段函数方法分别描述岩石强度峰值前、后的塑性损伤演化过程，可以很好地描述峰值点后岩石应力-应变曲线快速下降的情况，很好地反映了岩石的断裂软化特征，因而也更符合试验结果。

图4 冻融循环下饱和岩石单轴压缩应力-应变曲线

4 结 论

(1)该模型采用分段函数分别描述岩石峰值强度前、后的塑性损伤演化过程，既考虑了饱和岩石因冻融作用造成微孔隙扩张的冻融损伤，也考虑了岩石基质因受载作用而引起的塑性损伤，进而能够准确描述岩石应力-应变曲线峰前和峰后变形特性。

(2)冻融作用会造成岩石的初始损伤，且初始损伤随冻融循环次数的增大而增大；岩石基质受载损伤与冻融损伤两者耦合，会增大试件的损伤程度，进而加速岩石力学参数的劣化。

(3)模型很好地预测了岩石单轴抗压强度随冻融循环次数的增大而降低的规律，且能够很好地反映峰后饱和岩石试样的应力-应变关系，理论值与实验值吻合良好。

[15] 袁小清，刘红岩，刘京平.冻融荷载耦合作用下节理岩体损伤本构模型[J].岩石力学与工程学报，2015(8):1602-1611.YUAN Xiaoqing,LIU Hongyan,LIU Jingping.A damaging model of jointed rock under coupled action of freezing and thawing[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2015(8):1602-1611.

[22] 袁小平，刘红岩，王志乔.基于Drucker-Prager准则的岩石弹塑性损伤本构模型研究[J].岩土力学，2012,33(4):1103-1108.YUAN Xiaoping,LIU Hongyan,WANG Zhiqiao.Study of elastoplastic damage constitutive model of rocks based on Drucker-Prager criterion[J].Rock and Soil Mechanics,2012,33(4):1103-1108.

[24] BORJA R I,SAMA K M,SANZ P F.On the numerical integration of three-invariant elastoplastic constitutive models[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2003,192(9/10):1227-1258.

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