几何学中最古老、最简单的问题之一让数学家们措手不及，而且这已经不是第一次了。自古以来，艺术家和几何学家就一直想知道几何图形如何在整个平面上平铺而不产生缝隙或重叠。

最明显的瓷砖（贴砖）平铺：用正方形、三角形或六边形的复制品铺在地板上很容易。在20世纪60年代，数学家们发现了一组奇怪的瓷砖，它们可以完全覆盖平面，但只能以永不重复的方式覆盖。事实证明，这相当疯狂。

第一个不重复（非周期性）的模式依赖于一组20426个不同的瓷砖。数学家们想知道他们是否能把这个数字缩小。到20世纪70年代中期，罗杰·彭罗斯证明了一组简单的“瘦菱形”和“胖菱形”就足够了。

想出不重复的模式并不难。许多重复的（周期性）的平铺可以被调整成非重复的平铺。关键是找到像彭罗斯那样可以覆盖整个平面的瓷砖，但只能以非周期性的方式。彭罗斯的两种瓷砖提出了一个问题：是否能找到（只有）一种形状的瓷砖可以非周期性地平铺？

令人惊讶的是，答案是肯定的（如果允许平移、旋转和反射瓷砖）。但如果不允许旋转，就不可能在不留下缝隙的情况下平铺平面。

几年前，数学家证明了，无论你想出的瓷砖多么复杂或巧妙，如果只能对单个瓷砖使用平移，那么就不可能设计出一个可以非周期性地覆盖整个平面的瓷砖。数学家们推测，这样结果也适用于高维空间。这个假设被称为周期性平铺猜想。

在上个月发布的一份预印本中，格林菲尔德和加州大学洛杉矶分校的陶哲轩最终解决了这个猜想。他们构造了一个可以非周期地填充高维空间但不能周期性地填充（高维空间）的瓦片，从而推翻了猜想。

这种奇怪的瓷砖不仅因为突破了几何上可能和不可能的界限而引人注目。它还与几何学之外的问题密切相关，包括关于逻辑本身极限的问题。

2019年，格林菲尔德和陶都独立研究了另一个与平移平铺有关的问题，他们的目标是证明周期平铺猜想。由于这个猜想已经在一维和二维中成立，他们试图在三维中证明它：如果可以将一个形状的副本平移到整个三维空间中，那么一定有一种方法可以周期性地对空间进行平铺。

他们取得了一些进展，用不同的技术重新证明了二维的猜想，他们希望这些技术也适用于三维的情况。但后来他们遇到了瓶颈。也许有一个原因让我们无法在更高维度上证明这个猜想。我们应该开始寻找反例，陶说。

他们从改变“环境”开始。假设你想平铺二维空间。与其尝试平铺一个连续平面，不如考虑一个二维晶格。现在你可以将一个瓷砖定义为网格上的有限点集。如果有一个合适的平铺，那么你可以通过复制这个有限的点集并移动它们来覆盖晶格中的每一个点。

证明高维晶格的“离散”周期平铺猜想与证明该猜想的连续版本略有不同，因为在晶格中可能存在平铺，但在连续空间中则不可能。但它们是相关的。格林菲尔德和陶计划提出一个离散的反例来反驳这个猜想，然后他们可以修改这个反例，使其也适用于连续的情况。

• 格林菲尔德

在2021年夏天，他们在一个非常高维的空间里发现了两块瓷砖。瓷砖可以填充它们所在的空间，非周期性地。他们又花了一年半的时间才能找到一个真正的反例来反驳周期性平铺猜想。

瓷砖“三明治”

他们开始创造一种新的语言，把他们的问题重写成一种特殊的方程。这个方程中未知的“变量”代表了在高维空间中平铺所有可能的方法。但很难用一个方程来描述事情，陶说。有时你需要多个方程来描述一个非常复杂的空间集合。

因此，格林菲尔德和陶重新定义了他们试图解决的问题。他们意识到，可以设计一个方程组，在这个方程组中，每个方程对解都有不同的约束。这让他们把问题分解成关于许多不同瓷砖的问题——在这种情况下，所有的瓷砖都使用相同的平移集覆盖给定的空间。

例如，在二维空间中，你可以通过向上、向下、向左或向右滑动正方形来平铺平面，每次一个单元。但其他形状也可以使用完全相同的平移来平铺平面。例如，一个正方形在右侧边缘添加一个凸起，并从左侧边缘移除，就像拼图游戏一样。

如果你取一个方块、一块拼图和其他使用相同移位集的瓦片，然后像三明治中的冷切块一样将它们堆叠在一起，你可以构造一个使用单一平移集来覆盖三维空间的瓦片。他们需要在更多维度上进行研究。

数学家们试图扭转这种三明治构建过程，将他们的单方程高维平铺问题重写为一系列低维平铺方程。这些方程稍后将决定高维瓷砖结构的样子。

陶将他们的平铺方程系统视为一个计算机程序：每一行代码或方程都是一个命令，这些命令结合起来可以生成一个实现特定目标的程序。逻辑电路是由非常基本的对象组成的，这些与门和或门等等，每一个都不是很有趣，陶说。但你可以把它们堆叠在一起，你可以制作一个可以绘制正弦波或在互联网上通信的电路。

所以我们开始把问题看作是一种编程问题，他继续说。它们的每个命令都是最终平铺需要满足的不同属性，这样整个程序就可以保证符合所有条件的平铺必须是非周期性的。

那么问题就变成了他们需要什么样的属性来编码所有这些平铺方程来实现这一点。例如，在三明治的一层中，瓦片的形状可能只允许某些类型的运动。数学家们必须仔细地建立他们的约束列表——这样它就不会限制到排除任何解，但会限制到排除所有周期解。

无限的数独

格林菲尔德和陶希望用他们的平铺方程编写的谜题是一个具有无限行数和大量但数量有限的列的网格。数学家们试图用特定的数字序列填充每一行和对角线，这些数字序列与他们可以用平铺方程描述的约束类型相对应：他们将其比作一个巨大的数独谜题。然后，他们发现了非周期序列，这意味着相关平铺方程系统的解也是非周期的。陶说：“这个谜题基本上只有一个答案，那就是这个有趣的东西，它几乎是周期性的，但不是完全周期性的。这花了很长时间才找到。

在这样做的过程中，他们构造了一个高维的非周期瓷砖——首先是离散的，然后是连续的。他们的瓷砖非常复杂，充满了曲折和洞，几乎没有瓷砖空间。陶说：这瓷砖真难看。他和格林菲尔德没有计算它所处空间的维度；他们只知道它是巨大的，可能大到

我们的证明是建设性的，所以一切都是明确的和可计算的，格林菲尔德说。但因为它离最佳状态还差得很远，所以我们没有进行检查。

事实上，数学家们认为他们可以在低得多的维度中找到非周期瓷砖。格林菲尔德说，这是因为他们建造的一些更技术性的部分涉及在概念上“非常接近二维”的特殊空间中工作。她不认为他们会找到三维瓷砖，但她说4维瓷砖是可行的。

不完整性

这项工作标志着一种构建非周期瓷砖的新方法，这种方法可以应用于反驳其他与瓷砖有关的猜想。反过来，这可能会让数学家进一步突破复杂性可能出现的边界。陶说：似乎有一种新兴的原则，即高维几何是令人讨厌的。我们从二维和三维空间得到的直觉可能会产生误导。

这项工作不仅涉及人类直觉的边界，还涉及数学推理的边界。在20世纪30年代，数学家哥德尔表明，任何足以发展基本算术的逻辑系统都是不完整的。在该系统中，有些语句既不能证明也不能推翻。事实证明，数学中充满了“不可判定”的命题。

同样，它也充满了计算上无法确定的问题，这些问题不能用任何算法在有限的时间内解决。数学家在20世纪60年代发现，关于平铺的问题也可以是不可判定的。也就是说，对于一些形状集合，你可以证明，在有限时间内它们是否平铺给定空间是不可能的。

这是一个非常简单的表述问题，但仍然超出了数学的范围。这不是第一个数学理论无法确定或不完整的例子，但它确实是最实际的一个。去年，陶发现，关于高维瓷砖对的一般陈述是不可确定的，他们证明了没有人能够弄清楚某些瓷砖对是否可以完全覆盖它们所在的空间（无论是周期性的还是非周期性的）。

关于单个瓷砖的陈述也可以是不可判定的吗？自20世纪60年代以来，人们就知道，如果周期性平铺猜想是正确的，那么总是有可能确定任何给定的平铺是否可以覆盖平面。但反过来就不一定了。

这就是格林菲尔德和陶接下来想要解决的问题，他们使用了他们为最近的结果开发的一些技术。陶说，我们认为，我们创造的语言应该能够创造一个无法确定的谜题，这是相当合理的。因此，可能有一些瓷砖，我们永远无法证明它能平铺空间。为了证明一个命题是不可判定的，数学家通常会证明它等价于另一个已知不可判定的问题。因此，如果这个平铺问题也被证明是不可判定的，它可以作为在其他不可判定问题的一个工具。

来源：quantamagazine