广义相对论简介-弯曲的时空

广义相对论是一个关于引力和时空的理论，它于1915年由爱因斯坦所建立。和在此之前所有的物理理论所不同的是广义相对论是一个建立在纯粹思考上的，并没有与理论所矛盾的实验现象，这与它同时期发展起来的量子力学，以及由爱因斯坦本人所建立的狭义相对论不同，那些理论的建立是势在必行的，因为已经有大量的决定性的实验结果告诉人们必须建立新的物理理论，否则将无法解释新的实验现象，正如我未完成的量子力学起源的系列中所展示的那样。而广义相对论则不同，在当时并没有任何来自于实验的迹象需要改变当时的引力理论，而来自于一个思想实验。

Albert Einstein

思想实验

地球围绕太阳的公转是由于太阳和地球之间存在有万有引力作用，这和手中拿着一根绳子，绳子的另一头系着一个小球有相似之处，此时可以使小球围绕中心做圆运动，这是由于绳子的拉力提供了小球圆周运动的向心力，如果在某一时间绳子突然断开，那么小球将不再做圆周运动，而是沿着当时速度的切线方向飞出。同样的情况对于地球的公转也一样，假设由于某种神奇的原因太阳突然消失，根据牛顿的引力理论，地球将不再被太阳所吸引，那么此后地球的运动将沿着当时运动速度的切线方向直线前进。

但是问题来了，由于地球和太阳之间的距离并不能够小到忽略不计，我们知道光从太阳传到地球需要大约8分钟的时间，而狭义相对论又告诉我们光速c并不仅仅是光的速度，而是自然界中的一个普适常数，它其实代表着那些无质量的物质在真空中的运行速度，并且没有任何物质或信号的运动速度能够超过光速。这样，太阳消失的信息到底是立刻被地球所知晓而做直线运动呢还是需要在太阳消失8分钟以后地球才能够知道这一信息而开始做直线运动就成为了一个矛盾，必须在理论上加以说明。爱因斯坦本人是坚信他的狭义相对论的正确性，在他看来太阳消失这一信息必然要在8分钟以后才能够被地球所知道。

从这个意义上讲引力就必定不是牛顿理论当中的超距作用，而是一种类似于光，也就是电磁波一样的对象，它由物质所产生，并且能够在真空中传递，而且引力传播的速度至多也就和光速一样。一旦确立了这样的想法，更大的问题就出来了，引力到底是一种什么东西，她是如何产生和传播，如何影响物质的运动就需要从理论上加以说明。一个好的消息是当是人们对于电磁现象已经有了较为深刻的认识，并且在狭义相对论之后被总结成了非常漂亮的理论。那里光是一种存在于时空当中的场（电磁场），它可以由带电物体所产生，在真空当中依据它自身的规律传播而不需要任何的介质（电磁波），同时当在电磁波传播路径上有其它带电物体时会发生电磁相互作用，我们称第二个物体与前一个物体之间发生了电磁相互作用。

将这个图像推广到引力，并且与牛顿的引力理论做类比引力也可能是一种存在于时空当中的场，简单起见就称之为引力场，它可以由有质量的物体所产生，并且在它可以不依靠介质在真空中传播，这里引力场的传播就称之为引力波，在传播路径上当遇到其它有质量的物体时引力场就和物体发生相互作用，从宏观上看第二个物体就受到前一个物体的引力作用。

引力场究竟是什么，它是如何被有质量的物体所产生，在空间中又是如何传播的，其它的物体又是如何感受到引力，或者说如何与引力场相互作用这些问题在爱因斯坦之前并没有人思考过，而这一系列问题的答案就包含今天所谓的广义相对论当中。为了理解这一切我们必须回到广义相对论建立之初，看看爱因斯坦是如何一步步得到最终的答案从而认识到引力的本质。

等效原理

其实早在牛顿建立了万有引力理论，也就是广义相对论建立200多年前，牛顿在他的《原理》一书中就注意到了一个事实，在他的引力理论当中两个物体之间的引力正比于两者的质量，反比于它们之间距离的平方 : F=GMm/r^2，其中M和m是两个物体的质量，假设M代表一个很大的质量，例如太阳而m代表一个相对较轻物体的质量比如说地球，r代表它们之间的距离，假设在引力作用下m围绕着M转动，由于M的质量远大于m所以假设M的运动可以忽略不计，这与地球围绕太阳的转动是一致的。与此同时小质量的物体受到外力作用以后运动状态的改变，也就是加速度的大小则等于外力的大小除以它自己的质量a=F/m。当把这两个事实放在一起以后马上会得到一个结论，在引力作用下运动物体的加速度与它自己的质量无关，正比于吸引它的另外一个物体的质量，反比于它们之间距离的平方：a=GM/r^2。

换句话说，地球围绕太阳转动的轨道其实与地球的质量无关，假设另外一个天体，无论它的质量如何，只要它处在和地球相同的位置，与此同时具有和地球一样的速度，那么它的加速度就必定和地球完全相同，因为加速度相同，速度的变化也就相同，因为在任何位置的速度都相同，所以它们的轨道必然完全一致！牛顿明确地指出了引力的这个性质，甚至给它起了专门的名字—加速力，但是没有进一步深究这个事实背后的含义。

爱因斯坦则重新审视了引力的这个性质，在他看来一个物体受到的引力可以分解为两部分，写成公式就是F=mg。其中m是该物体的质量，而g代表着它所处位置引力的强度，如果它此时处于地球表面的话g就代表着我们熟悉的重力加速度，对于位于其它地方的物体，g代表该点的引力，为了方便统一用g代表引力场强。m 只与受力物体的性质有关，而g与则由产生引力的其它物体的性质所决定，在牛顿的引力理论中g是位置的函数g(x)，由其它所有物体的质量以及它们到受力物体所在位置的距离所决定。

处于引力场当中的物体由于受到引力作用，它的加速度a由牛顿第二定律所给出，因为引力的性质它的加速度不是别的，正是引力场强度g：a=g。如果忽略受力物体对引力源运动状态的影响，那么所以位于该点的物体在引力作用下的加速度无一例外地都是g，也就是说它们在相同时间里由于引力作用所产生的速度变化都一样。既然所有物体的加速度在同一点都一样，那么当它们的速度又碰巧相同的话，它们运动的轨迹就完全相同。

爱因斯坦敏锐地意识到这个事实所代表的含义：和电磁作用不同，引力实际上并不是受力物体和引力场之间的相互作用，而是空间的某种几何性质，是由于物质的存在而造成时空的扭曲。以太阳系为例，由于太阳的存在改变了空间的几何性质，受到太阳引力作用下的物体实际上是在被太阳扭曲了的时空当中运动。一个著名的例子就是在一个拉紧的橡皮膜中间放一个很重的东西，由于它的重量将膜的形状所改变，其它的小球则是在弯曲的表面运动。

这样我们就有了引力场的一幅不同于牛顿引力理论的图像。那么问题又来了，要想建立一个基于弯曲时空的引力理论，第一步就是要确认如何来描写时空的弯曲。

既然时空是弯曲的，那么必然出现一些与常理不符的现象，为了寻找这些现象，爱因斯坦又注意到了引力的一个特点。为此我们来考虑处于两个封闭的箱子中的物体，第一个箱子处于引力场中的一点，那一点上引力强度为g；另一个物体则处于宇宙的深处，在那里任何其它天体的引力都可以忽略不计，但是箱子以加速a=g在做加速度运动。第一个箱子当中的物体由于受到引力的作用，质量为m的物体受到的引力大小为mg，根据牛顿第二定律，所有的物体相对于箱子都做加速度运动，无论质量如何加速度无一例外均为g。第二个箱子中的物体不受引力作用，所以相对于外部空间做匀速直线运动，但是由于箱子在做加速运动，那么这些物体相对于箱子的加速度无一例外都是a=g，方向与a相反。所以相对于两个箱子所有物体运动的加速度都是g，处于两个箱子当中的观测者对于物体运动的观测将会得到完全相同的结论：所有的物体都以相同的加速度运动！

处于这两个箱子当中的物理学家得到了完全相同的物理定律，如果向他们提出一个问题：请问你所处的箱子到底是一个处于引力场中静止的箱子呢还是一个做加速运动的箱子，能否设计一些物理实验来区分到底是这两种情况当中的哪一种呢？爱因斯坦给出了一个设想（在他那个时代并没有证明）：无论做任何物理实验，从原则上都无法区分到底是两种情况中的哪一种。他认为这个假设是正确的并将它提升为物理原理，后来的人们称它为等效原理，等效原理是建立引力理论的出发点。

弯曲时空

弯曲时空

等效原理告诉我们引力的效果和一个没有引力的环境中做加速运动的参考系当中所物体运动所遵循的物理定律完全一致，这给我们提供了寻找引力理论的方案：在没有引力的空间当中建立一个加速运动的参考系，因为在那些做匀速直线运动参考系（惯性参考系）当中的物理定律，也就是狭义相对论，被我们所熟知，在求解了惯性参考系中物质的运动行为之后再通过坐标变换变到非惯性参考系当中就得到了在引力作用下任何物体的运动行为。换句话说等效原理为我们提供了一个通过已知物理规律来分析引力效应，并最终建立引力理论的一个具有可操作性的手段。

在等效原理的基础上我们马上可以得出引力的一个重要的特点：当引力存在时普通的几何学规律，也就是我们平时常用的几何定律将不再成立，比如说当存在引力时三角形内角和将不再严格等于180度，两条平行线也不再必然不相交等等，当考虑到时间也被包含在基中的话，在引力作用下一个运行良好的时钟在不同地方时所走的快慢也会有不同。为此我们看一个简单的例子，无引力的空间当中有一个以固定角速度转动的圆盘。

我们知道，当角速度为w(为了方便我用英文字母代替熟悉的希腊字母，通常角速度用omega来记录)，与中心相距r处由于转动导致的向心加速度为w的平方乘以r：a=w^2 r，对于给定的角速度，向心加速度正比于到中心的距离。根据等效原理相对于转动圆盘静止的观测者所看到的事情与它处在一个强度正比于到一个固定点的距离的引力场之中所看到的物理规律完全一致，引力场的物理定律可以通过转动的圆盘间接地推导。首先看一根尺子，从中点O出发向外进行测量，由于在每一点处尺子的运动方向与它测量的方向都垂直，所以它的长度不受转动的影响，假设它测量了R的长度，所有这些与中点相距R的点构成了一个半径为R的圆。现在我们用同样的尺子来测量圆的周长，在测量周长的时候因为杆测量的方向与转动速度方向一致，所以它会受到Lorentz收缩，也就是说它的长度会变得比静止时短。

这样用它所量出的圆的周长就比在圆盘并不发生转动时量出的周长要来得更长一些，也就是说在转动的圆盘上测量出的圆的周长除以它的半径来比2倍的圆周率要大！根据等效原理，在同样的引力场当中的圆周率并不等于2*pi，并且随着位置的不同也不同！这就是引力将时空扭曲了的一个例子。同样一个不位于转动中点的钟，由于它的运动会发生时间膨胀，会导致距离中点越远的钟因为它的转动速度越大走得越慢，通过等效原理我们知道引力场中时钟运行的速度也会随着位置的不同而不同！

从上面的例子可以看出引力场将时空扭曲的现象，下一步就是要给出能够描写这种扭曲程度的方法（注意，现在只是来描写时间的弯曲，而不是找出弯曲的规律）。完整的给出描写时空弯曲的数学理论称作微分几何，在如此之短的篇幅当中自然不可能详细地讨论微分几何，所以我们来关注这其中的物理意义。

首先需要指出的是在广义相对论当中所使用的坐标系的概念。所谓的坐标系，就是将空间当中的所有点用一组数字来代表。这并不是一个新的概念，早在牛顿时代人们就已经这样做了，除了熟悉的直角坐标系，我们还会使用球坐标、柱坐标系以使得一些问题的分析得到简化。在过去的使用中，人们不自觉地接受了一个事实，以直角坐标系为例，为了简单我们看直角坐标系当中的一个轴，例如通常代表水平方向的x轴。在x轴上任意取两点，这两点的坐标分别是x1和x2，那么我们就说两点的坐标差为x2-x1，那个不自觉接受的事实就是两点之间的距离同样就是x2-x1！对于直角坐标系中的任意两点之间的距离也是用同样的方法得到，分别找出三个方向的坐标的差值，再利用勾股定理得到两点间的距离，也就是说两点坐标值和它们之间的距离有一个先入为主的关系。

在广义相对论中，这个关系不是必须，我们建立坐标系的唯一准则只有一条：对于一个时空中的点，有唯一给定的坐标值与之对应，反过来当给定一个时空点的坐标值以后，这个时空点就被唯一确定，除此之外别无其它。需要特别指出的是这里我们用的词是“时空点”而不是通常几何中的“空间点”，因为早在狭义相对论时间和空间已经是不可分隔的对象了，我们说时空是四维的，也就是说需要用四个数来描写一个事件所发生的时空坐标。

给定了一个时空点的目的就是为了说明一个事件所发生的时间和地点，比如一束光从太阳射向地球，发出光就是一个事件，用时空中的一个点来代表，该光线到达地球的事件则发生在另外一个时空点上，坐标系的全部目的就是用两组坐标指出这两个时空点。在广义相对论里，描写物质的时空过程可以用任意的坐标系来描写，当两个物理学家采用两个不同的坐标来描写同样一件事情时，只需要给出所有的时空点在两个坐标系当中分别用什么样的坐标值代表即可，不同的坐标系来描写物理过程并没有优先级，只不过有的坐标系用起来顺手一些，而有的麻烦一些。但完成描写时空过程这一工具来说都可以。

假设我们已经选好一个坐标系用来描写一系列物理过程，那么在开始之间必须明确一件事情：当使用这个坐标系时，任意两个点之间的“距离”是什么。两个事件之间的“距离”是否还像通常的情况下简单地用两点的坐标之差来给出呢？通过转动圆盘的例子我们已经看出当包含引力里肯定是不行的。

之所以把“距离”一词加上引号是因为相对论当中讨论的“距离”和平面几何当中的距离稍有区别，熟悉狭义相对论的朋友应该知道在相对论中的“距离”有另外一个名字叫“时空间隔”，如果用普通的三维直角坐标系加上一维时间并且不包含有引力的理论中间隔可以写成“t^2-x^2-y^2-z^2”，它用来衡量两个时空点之间能否被光所联系。如果两点间间隔为零，那么从一点出发的光正好可以到达另一点，如果间隔大于零则两点之间不可能由光所联系，也就是两点没有因果关系，反过来如果两点间隔小于零，那么不但光，那些比光速度还慢的物体也可以从一点运动到另一点。

广义相对论里，两个时空点之间间隔的含义也是一样的，而且由于光传播的特殊性，两个时空点之间的间隔其实是一个绝对的数字，换句话说，那些能够用光相联系的时空点无论用什么样的坐标系来描写它们之间的间隔也永远是零，不同时空点之间的间隔用不同的坐标系描写并不会产生变化，坐标系只是用来记录事件的发生，而不能决定物质运动的任何属性。

因为通常情况下引力强度是随点而变化的，所以两个相距较远的时空点之间的间隔需要仔细计算，不过如果两个点离得非常之近，它们的间隔还是由两点坐标值的差来决定，不过这种决定方式并不是我们熟悉的勾股定理，取而代之的是微分几何中的度规张量，两个坐标值相差不大的两个时空点之间的时空间隔可以写为：

其中左边是两点间隔的平方，右边第一项就是所谓的度规张量，不要被名字所吓倒，它不过就是一些时空点的函数，带有两个指标，右边第二项和第三项就是坐标的差值，这样定义的间隔实际上就是勾股定理的推广。不同的度规张量用来给出不同的弯曲时空。不需要明白完整的数学含义，只需要记住一点，只要度规张量被给出了以后，任意两个时空点之间的“距离”，准确地说是间隔就被唯一给定，广义相对论的一个主要目的就是要找出物质是如何决定它周围空间当中的度规张量的，也就是物质的存在是如何将时空扭曲了的。

微分几何一个基本事实就是当所有点上的度规被给定了以后，整个空间的几何性质就被完全给定，而广义相对论又可以告诉我们物质是如何影响空间当中的度规的。但是理解这所有的一切我们还需要一些时间，今天首先来看一些简单的事实，在随后的系列里我们再来将它们展开讨论。

当所有点上的度规为已知时，我们就可以计算一些基本的几何量。例如一条线的长度，如图所示，空间中有一条连接P点和Q点的曲线，那么我们可以将这条线分割成许多小线段，对于每条小线段而言，它的起点的坐标为已知，并且这一点处的度规张量的所有分量也全部知道，这样就可以利用间隔的定义算出这两点间的间隔。这样P到Q点曲线的长度自然就是这些小线段的长度的和。广义相对论中将这样一条时空当中的曲线称做世界线，世界线代表着一个物体的运动。

另外我们还可以确定两条线的夹角，所用的方法和平面几何当中余弦定理没有本质的区别，其计算方法和定义如图所示。

当有了长度和角度以后还可以进一步地计算出一个几何图形的面积，由平行四边形的面积公式推广而得：

更大区域的面积可以看做是无限多个这样的小面积之和。

利用度规可以得到所有的几何结论，广义相对论里它们决定了物质运动以及运动的特征，如果再能够由物质的分布计算出所有的度规张量，那么我们就有了一个完整的引力理论。