微积分的开创历程：牛顿的微积分

牛顿最初对微积分的思考发生于在家乡躲避瘟疫的1665年至1667年两年间。他在晚年时曾回忆说：

1665年初，我发现近似级数的方法，并得到将任何方次的二项式展开为级数的规则。同年5月发现了如何画曲线的切线；11月我发现流数术的直接法；次年2月创立颜色理论；5月我进入流数术的反演法，还开始研究重力对月球及其运行轨道的影响问题。

1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文《流数短论》，该文首次提出了“流数”的概念。1669年牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子，这本书直到1711年才出版。牛顿假定有一条曲线而且曲线下的面积为z（图8.4），已知有

z=axm

图8.4

其中m是整数或分数。他把x的无限小的增量叫做x的瞬（moment），并用ο表示，由曲线、x轴、y轴和x+ο处的纵坐标围成的面积，用z+οy表示，其中οy是面积的瞬，那么，

z+οy=a（x+ο）m

将右边运用二项式定理展开，当m是分数时，得到一个无穷级数，与原式相减，用ο除方程的两边，略去仍然含有ο的项，得到y=maxm-1

用今天微积分的语言来讲就是：面积在任意x点的变化率是曲线在x处的y值。反过来，如果曲线是y=maxm-1，那么，在它下面的面积就是z=axm。

这里，牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。这个事实就是今天高等数学中的“微积分基本定理”。虽然牛顿的前驱者们在特殊的例子中知道并且也模糊地预见到了这个事实，但是，牛顿看出它是普遍的。他应用这个方法得到了许多曲线下的面积。

牛顿对微积分的探讨奠基于他的无穷小方法。瞬是无穷小量，是不可分量，或者说微元。当然，这种方法必须和二项式展开紧密结合起来，经过消去瞬的高阶无穷小才能达到。因此，这样做在逻辑上不清楚。牛顿自己也认识到了这一点，他在《分析学》一文中就说到他的方法“与其说是精确的证明，不如说是简短的说明”。

《自然哲学的数学原理》（1687，以下简称《原理》）是牛顿献给人类文明的一部杰作，全书以三条力学定律为基础，利用数学方法阐明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且证明万有引力定律与开普勒第三定律的等效性，此外还将微积分的方法应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至整个宇宙体系，充分显示了微积分这一新的数学工具的威力。正是这本书给牛顿带来了崇高的荣誉，哈雷向国王推荐此书，说到“如果有一本书是值得王子一看的，那么一定要把这本包含了如此多的对自然世界的伟大发现的巨著敬献给国王陛下”。据说，法国著名数学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736—1813）读完《原理》后感叹：“牛顿是历史上最杰出的天才，也是最幸运的，因为宇宙的体系只能被发现一次。”爱因斯坦也十分推崇牛顿的功绩，说：“至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来代替牛顿的关于宇宙的统一概念。”

不过，无论是当时还是现在，《原理》都是一本使人感到畏惧的书，主要原因是因为《原理》是用几何的语言写成的，而不是用“分析”的语言。不过牛顿在书中熟练地使用极限方法进行数学论证，为此，他在《原理》第一编第一章专门论述“初量与终量的比值方法”，其中第一个引理是：

引理1　量以及量的比值，在任何有限的时间范围之内连续地向着相等接近，而且在该时间终了前相互接近，其差小于任意给定值，则最终必然相等。

正是利用这一极限方法，牛顿证明了许多物理学中的结果。在他以几何为基础的物理论证中，几乎都使用了同样的三个步骤：首先在有限的区域建立一个结果，接着断定即便某些量是无穷小结果也成立，最后将这个新结果应用到有限的情形。所以，在《原理》中证明关键之处经常可以读到“在无穷小的情况下，有……”，这几乎就是今天微积分中的“在极限的情况下成立”。

当然，牛顿知道那些抱守传统数学方法的人会反对他的这一概念。在第一章的附注中，牛顿试图答复他的批评者：

可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而且当他们消失时，比率也没有了，但根据同样的理由，我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它达到之前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。也就是说，物体到达其最后处所并终止运动时的速度，用类似方法，将消失的量的最后比可以理解为既不是这些量消失之前的比，也不是之后的比，而是它消失那一瞬间的比。

也许觉得这样解释太多依赖运动的直观性，接下来牛顿转向了更数学化的语言：

量消失时的最后比并不真的是最后量的比，而是无止境减少的量的比必定向之收敛的极限，比值可以小于任何给定的差向该极限趋近，绝不会超过，实际上也不会达到，直到这些量无限减少。

牛顿的这些话中已明确地使用了“收敛”“极限”，以及“小于任何给定量的差”，如果把它翻译成代数语言就相当于给出“极限”的一个定义；当然这个定义并不等价于现代的定义，因为它仍然没有摆脱“运动”，但是已经十分接近。

尽管作出了如此详细的说明，牛顿的做法还是招致了一些批评，其中来自贝克莱主教（Bishop George Berkely，1685—1753）的批评最为猛烈，他对牛顿这样“招之即来，挥之即去”处理无穷小的做法很不满意，挖苦地称牛顿的最终比是“消失量的鬼魂”。其实，在微积分创立之初，整个逻辑基础存在着很大的缺陷，但是人们当时的注意力集中在微积分算法的有效性，致力于扩大微积分的应用范围，微积分基础的严密性直到20世纪才得以完成。