计算机中为什么用补码来表示数字

数字的加减乘除等计算是计算机的基本功能。数字有正负之分，所以我们需且仅需一个符号位来区分他们。我们定义最高位是0表示正数，最高位是1表示负数。这样在八位数字系统中，除去最高位用来表示正负，还有七位可以用来表示数的绝对值。

首先我们定义正数的表达：最高位为0，剩余7位表示绝对值。正数的绝对值就是其本身，所以可以表示的范围是1--127.

然后定义0的表达：数学中0既可以是+0，也可以是-0，我们定义0的表达就是八个0即正零（00000000），如果定义负零，这样0就会有2两种表达形式。在不具有唯一性的情况下，会引起不必要的多余验证环节。所以我们只定义0用正零来唯一表示。

这里注意：正数和0的表示都是我们强行定义的。

在数字逻辑电路中，实现加法器和反向器是非常容易的。我们知道数字的减法是可以转化为加法的，例如 9-5，我们可以转换成9+（-5）的加法运算。按照我们的约定，负数要以1为开头进行表达，八位系统中的后七位要表达这个这个负数的绝对值。

我们可以直接用绝对值正数表达，则后七位对应的也就是1--127，这种表达方法也叫做原码。比如（-2）可以表示为 10000010）。但此时我们如果和+2（00000010）相加的话，得到的结果是10000100，按照原码表示这个值就等于 -4，实际结果应该是 0（00000000）。显然负数用原码表示是不合适的。既然2+（-2）的结果因该是0，我们必须对负数使用其它的表达方式，使得计算结果就是0（00000000）。

试想这种情况，我们的8位系统只表达正数，则表达的值范围是0--255（00000000-11111111），256相当于255+1，256就变成了进位1+00000000，我们看到后八位刚好全0。此时对于1--127的数字来说，他们对应的负值表达方式刚好是256减去他们的话，那相加以后的值刚好是进位j加上8个0，同时又满足最高位为1，正好是我们所定义的负数具有的形式。由此我们把负数的表达定义为 256减去负数绝对值，这种方式称之为补码。

当然我们还必须证明补码的完备性和补码加减的正确性，后续补齐。