几何之花1：几何自圆始

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

如果没有形式，物质不可能有任何现实性，因为只有有形式，才会有存在感。

——西班牙犹太哲学家所罗门·伊本·加比罗尔

威廉·布莱克的《远古时代》（The Ancient of Days）。画面是一个几何人形，手持一对打开的 "两脚规"。凯瑟琳·雷恩（Kathleen Raine）观察到，这个人物从永恒的球体中靠出来，在时间和空间上创造一个世界。

几何之花导论

正如我们所定义的，几何学是一种通用的客观语言。在我们探讨“几何之花”的含义之前，有必要重申我们的假设是什么。几何学是对空间秩序的研究，空间秩序是存在的五个必要条件之一。这反过来又给我们带来了两个将几何定律带入实验意识的最基本的工具:它们是圆规(或分规)和直尺或“直角尺”。它们可能是所有科学仪器中最古老和最受尊敬的。它们体现了能够象征性地、直接地表达“绝对”的现实。

这两个工具引导人类的手进入客观普遍性的领域。这与所谓的“徒手”绘画形成对比，后者完全受制于握笔者的意志和技巧。“徒手”作品(如中国和日本的绘画艺术)完全与心灵相关，但它与表达和体验几何图形是不同的层次。“参与”这个词在后来的柏拉图哲学家中非常流行，比如普罗克洛斯、Iambilichus和普罗提诺。这指的是实践——理论上的和操作上的——在这种实践中，相关的人成为参与一个客观和哲学命题的工具，而不仅仅是思考它或对它进行理论化。这反过来意味着人类的头脑能够参与更高或更优越的智能。一些人将此定义为本体，即“永久”真实的思想领域。我们假设，毕达哥拉斯学派首先假定教育应该最好地建立在数的四种展开中。第一，纯数变成算术；第二，空间中的数是几何；第三，数字在时间上被认为是音乐或和声；第四，空间和时间中的数成为天文学、宇宙学或球学。

我们主张所有人都可以“参与”几何艺术/科学，这在歌德之后可以称为“温和的经验主义”。我们完全受圆规运动的指导，也严格遵守直尺(或尺子)的规则。通过几何学，我们“参与”了“直”和“圆”的永恒真理。如前所述，苏格拉底断言几何是“永远真实的艺术”。参与这样的活动被认为对灵魂有巨大的益处，因为这是对其起源和目标最可靠的“提醒”。我们重复一遍，记忆学说是柏拉图主义的基础。它意味着“回忆”或“记住”一个人的起源，因为那里有智慧的领域或与整体的重新结合。

圆是由圆规所主宰，圆由静止的中心点控制。圆是所有几何形状中最深奥的——既有又无——一个很好的禅宗公案！

高僧最推崇的修行之一就是用他的毛笔用一个手势画一个圆圈。

这证明了一个成功的禅宗圆圈在禅宗寺院的正念练习中受到尊重和使用的程度。

直边代表客观公正，因为它提供两点之间最直接的距离，在直线的任一侧保持精确的平衡。

人类的眼睛具有通过视线识别直线的非凡能力。人眼的判断精度显然已经被证明可以达到数千英寸。

生物的奇迹是视力。我们不仅对镜子中自己的眼睛如此熟悉，而且对白天我们所依赖的所有其他重要的人类眼睛也是如此熟悉。我们的眼睛、虹膜和瞳孔都是“圆形”的。柏拉图宣称视力是我们最珍贵的天赋。

正如我们已经说过的，圆规的圆圈象征着“天堂”或可理解的领域。直边或尺代表显化的感性或“我们的”世界。直线或正交是可测量的，而圆的圆周率的先验性质，根据柏拉图的说法，基本上是不可测量的。(像Arretos这样的词被翻译成“非理性的”并不遵循柏拉图自己的用法。Arretos的意思是“超出人类解释的，不可言说的”，不是“非理性的”，而是“超理性的”。)不用说，几何的“现实”并不在于画出来的线条——它们仅仅是符号——而在于概念空间普遍真实的关系。几何工具仅仅遵循其内在的普遍规律。绘制的几何只是对秩序的更深层次的永恒意义的介绍，这就是宇宙本身。

几何之花

因为当我说形式美时，我并不是想表达大多数人通过文字所能理解的东西……我指的是直线、圆、平面以及由圆规、尺子和角度模式形成的立体图形，也许你能理解。因为我断言这些事物的美不是相对的……但它们天生就是美的。

——柏拉图《斐勒布篇》中的苏格拉底

在所有人类的身体行为中，都有一种有意识或潜意识的神经冲动，我们可以称之为指导思想或概念指令。

中国人发现了一组最低限度的“条件”，他们称之为“天”、“地”和“人”，这是意识的基本“三位一体”。这意味着把超越人类理解的事物(纯粹不变的原则领域)考虑为属天的，然后把人类理性理解之内的事物考虑为感官经验和思想的基础。最后是尘世，物质世界和自然世界的行为，天界和尘世的行为，都是由人类的意识来调节和平衡的。古代中国人认为，正是这个东方大三位一体拥有生命的目的，即“存在”的中介。

传统系统有时包括第五个或精华，它是意识的四个方面的中心整合因素。(在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，柏拉图避免了任何关于“某个五分之一”的讨论，这个五分之一是他几何体系中的十二面体，后来亚里士多德把它作为“以太”的代表提出来。)这四种元素是可体验的，而第五种元素是完全无形的，只对头脑可用——这可能是为什么柏拉图只暗示了它的存在，并坚持毕达哥拉斯的伦理(传统告诉我们),即它是深奥的，不能在与其他四种有形元素或固体相同的框架中讨论。

这两个三角形(今天在一个技术制图商店中被称为三角板)分别是30、60、90度的三角形——被《蒂迈欧篇》称为宇宙中“最美丽的”——和45、45、90度的三角形，这是一个半正方形。柏拉图在解释物质分子时选择的这两个三角形的有效性反映在直到今天绘图员对它们的持续实际使用中。

这两个三角形具有两个非常重要的算术上的神秘性质。

第一个30 、60 、90 三角形是半个等边三角形，边长分别为1、2和 3。这意味着它的两个侧面是完全理性和不神秘的，但第三个侧面是一个关键的“比例”，被称为“三的平方根”。[图S4-006]这个根维度是无法用算术或整数计算的，这意味着解将无限地继续下去，避免完成——因此它是神秘的——但它可以用精确的几何精度绘制出来。就人手所需而言，这条线的终点是精确的，但是用算术方法用整数来测量这条线是不可能的。柏拉图把这个三角形分配给“火”、“水”和“空气”分子的“结构”，并宣称它是神圣的工匠Demiurgos制造或安排宇宙时所有三角形中最公平、最美丽的。

这个看似不起眼的三角形，你会发现今天在任何制图员用品商店都有出售，事实上，柏拉图的《蒂迈欧篇》中的宇宙进化论中说，它是整个宇宙中最美丽的。

第二个三角板或45、45、90 的三角形有两条合理的边——比如测量1和1——第三条边和第一个三角形一样神秘，是“2的平方根”。二的平方根，意思是这个数乘以它自己就是二。然而，这也是无法通过算术解决的。因此，数字v2和v3都可以被称为超理性或超越理性(直觉也是如此)。一些历史学家认为这些数字对毕达哥拉斯学派来说是“威胁”,例如，毕达哥拉斯学派非常重视数字。然而真相更有可能是这些维度被认为是令人费解和深奥的。他们当然知道他们。对于那些想让“非理性”成为数字的弱点的人来说，他们可能拥有它，但这并不排除同一真理的几何表达的精确性和重要性。对于毕达哥拉斯学派来说，超理性数字更有可能是“不同现实”的指示器。每个人都可以选择。

这个“三角板”也是任何一家供应店的常见景象。我们当中有多少人知道，在神圣的工匠或德缪尔哥斯创造我们的宇宙时，柏拉图赋予了这个三角形宇宙的意义。

让我们回到几何学的实践，以及为什么我们称这一章为“几何之花”。几何学同时是一门艺术和科学。作者认为把它们分开是没有价值的。艺术是让他们普遍地、外在地意识到，科学是他们的原则的清晰和精确的本质，直、圆和角。

我们必须重申的一个原则是，古典教育课程的四个科目(后来称为Quadrivium)之间存在着必然的联系和相互关系。那是在算术、几何、和声或音乐和天文学或宇宙学之间。

这意味着本质上它们都以自己独特的语言相互补充。(总之四个方面是统一的。)因此，当我们读到一个宇宙起源论，即一个宇宙的诞生或形成，在任何文明的传统中，它将不可避免地有一个几何表达，暗示的或实际的。

在这种情况下，我们将称其为“宇宙起源之花”，我们将以中国古代的一个版本以及《圣经》和《古兰经》为例。第一个例子将展示在中国古代世界格局中占主导地位的五行。第二部分将展示亚伯拉罕信仰中所预言的六度性。这两个例子都说明了几何语言是表达宇宙起源的适当的符号语言。

这个三角形是另一个重要的科学发现，它是由一根有12个结的绳子组成的。就像几千年前一样，今天它被用于建筑工地。毕达哥拉斯定理的形式很容易识别，因为5的平方等于3的平方加上4的平方(即25 = 16 + 9)。古埃及人认为使用了这种几何形式，他们称之为“绳子拉伸”。

欧几里得的第一个对角线命题

这显示了欧几里得的第一个命题的简单重要性，以建立一个等边三角形。然而，欧几里得并没有指出，直线(虚线)不能用整数表示——因为它是3的平方根。

圆规或两脚规是人类最古老、最可靠的科学仪器。圆规的发现为我们带来了客观的知识。它由两条腿和一个铰链组成，与人的手完全协调。

几何从圆开始

任何几何构造——尤其是宇宙起源的几何构造——都是以圆开始的，这是基本的，也是不可避免的，因为它是“一切包含”的基本图形。第一个练习是想象一个圆，然后将圆规指向表面上的最佳位置(中心)。为了稳定，建议施加一点压力。然后从顶点“转动”圆规。当达到一个舒适的动作时，将画点降低到表面上并画一个圆。

你将画出最基本、最深刻的几何图形。这是一条每一部分都与你最初用圆规指向的中心距离相等的线。这样的第一幅画总是有更多的深度，但现在我们可以认为我们有一个深刻的“一体”的形象:一个单一的圆圈，一个象征性的宇宙。矛盾在于深刻的简单性。记住圆的360度；每一度代表一个原型年中的一天，实际365天中的360天。这种象征主义在古埃及时代就已确立，甚至可能更早。

首先，我们将遵循中国古代的宇宙论(宇宙的诞生),得出五的几何“花”。这符合中国的“五边形”宇宙。然而，它将不可避免地遵循“二”、“三”、“四”的数字序列，最终达到五的目标。古代圣贤都在展开的这些阶段中寻求每一个动作的内在意义。几何学作为一门艺术，被认为是一种参与道或神圣智慧或永恒原则的形式。“形成”被非常认真地考虑过。

上善若水，水善利万物而不争。处众人之所恶，故几于道。(《道德经》)

谦逊是深刻的基础。

圆是几何球体中原型中的原型。它包含了所有其他的形状，因此是包罗万象的。它是天空中两个最重要的光体:太阳和满月的形状。正如普罗克卢斯在对欧几里得的评论中所说的，圆“为我们规范一切，直到最卑微的施舍，因为它分配了美、同质、形状和完美。”“它是我们眼睛的形状，就像球体一样，是大多数水果的形状。

寻找给定圆的中心

寻找给定圆“a”的圆心。

首先，把圆规针尖放在圆的右边，在一个小圆给出的点上。

用圆规在给定圆的半径上划出一个穿过中心点的小弧线。

下一步，把你的圆规指针以同样的半径放在你给定的圆的底部。

这是用一个类似的小圆圈标记的。

画第二条弧线穿过第一条弧线。这会给你一个圆心‘a’。

“快”从来都不是必要的。

用两条圆弧求圆心

一种在给定的圆中寻找“丢失的”圆心的方法，特别是在半径不再确定的情况下。

a.取任何小于直径的线段，用圆规将其一分为二，通过明显的中心画一条长中线。

b.画第二段，同样用两个圆规弧把它一分为二。延伸中心轴，直到它与第一个中心轴相交。这将是圆的中心。

对圆的第一次探索最终发现了两个更小的包含圆的两个内中心

1.第一个简单的圆。

2.标记中心。

3.画出第一个直径，从圆的顶点到底点，穿过圆心。

4.使用与第一个圆相同的半径，从直径的最高点画一个弧，在下面的两个位置(标记为x & y)切割原始圆。从圆上的最低点开始，按照相同的步骤获得m点和n点。

5.将y与x连接，将n与m连接，这将在e和f处切割中心直径s-t，这将是在下页看到的两个半径圆的中心。

虽然宇宙永恒的原则“包含”一切，渗透一切，但它们本质上是卑微的，像水一样永远存在，对生命至关重要。

如果我们仔细地跟随图画的说明，我们将最终拥有我们的原型五瓣花，我们将选择称之为“生命之花”。原因是它体现了在所有生物中占主导地位的黄金比例系列。这也提醒我们，古人认为“世界”或宇宙是有灵魂的“活的”生物。在中国古代宇宙学中，我们在我们创造的“四”划分中创造了四个季节。这幅古老的世界图景接着谈到了五种“元素”。它们是火、木、金、水和土，可以很容易地用单个单词来写，但由于它们固有的微妙性质，它们有着深刻的含义，渗透到人类生活的许多领域。在中国的体系中，这五种物质被称为“要素”或“媒介”。中国古代的针灸艺术也是基于五种“药剂”。中国人把人体看作是其他古代文明的缩影。一些评论家在这里用“金”这个词来表示这个系统的“金属”元素。

然而，这里不是深入讨论的合适地方，因为有许多优秀的书籍，甚至有更多这门艺术的优秀从业者，供那些有兴趣了解更多的人。陈荣捷是我们推荐的中国哲学问题的作者和翻译家。

在这一点上，我们想再次提请注意大多数野花的五重性，以及如此多的动物共有的五只手和爪子。五的整体象征意义非常丰富。对一些人来说，双手都是5是数到10的基础，然后重复从1到9的顺序。以此类推，成对出现。然而，也有其他的方式来看待这个问题。重要的是避免说我们每只手都有五个手指，我们只有四个加上拇指。然而，我们的手和脚在整体伸展上都有一种内在的五度。

从一到五的过程

鱼形椭圆

我们现在有了两个点(c & d ),这将使我们能够建立宇宙二元性和阴阳三元性，因为我们已经有了由我们的主圈(a)所代表的道。道和圆周率(π)值的算术性质，即圆的半径和周长之间的关系，有着共同的“超越性”。

道是不可描述的、无形的、但又无处不在的宇宙整体和“道”；圆周率(π)是圆的半径和周长之间最简单的几何关系，但无法分解成整数，就像三的平方根和二的平方根一样。然而，圆周率被现代数学家冠以“先验”一词。

当我们找到直线a-b上的圆心e和f时，我们画两个圆，这两个圆接触圆心和圆周ata和b。

现在我们已经在我们的道内画了两个圈。这些圆的半径正好是较大的包含圆的半径的一半，因此可以成为阴阳的基础。从线的二性，我们现在有一个“三性”的圆，两个内圆和一个外圆。

当我们找到了c以t为中心，恰好与r和v相接触的半径时，我们在g和h处切割包含圆。g到h的距离正好是第一个大圆的五重分割。正是从t中，我们找到了阴阳圆之间的精确平衡，我们才能获得最终的五，这将成为几何上的五之花，或者我们选择称之为“生命之花”。

将圆分成两个“动态”部分代表了中国古代的智慧。其中一个小圆圈是阴符号的基础，另一个小圆圈是阳符号的基础。这两种力量，“主动”和“被动”，在整个宇宙(道)中不断地相互作用。两个圆圈的中心需要强调。阴圆有一个“满”的中心点，而阳圆有一个“空”的中心点(非常小的圆)；这些是对每一种“力量”内部对立的认知。

下一个宇宙起源模式，我们打算从几何学的观点来看，是根据亚伯拉罕的三个信仰，犹太教，基督教和伊斯兰教的原则的创世故事，因为它是基于一个主动的六和一个被动的七。这无疑是数的普遍性的一个标志，这三种“信仰”在六“天”或间隔内发生的创世事件上是一致的。

第七个出现作为中心的“王座”或“休息日”。在这种情况下，重复最古老的中国书籍，《易经》，也开始了它的数学宇宙结构，被称为“六行卦”。这种等六的乾坤模式被称为“造”，是六十四种可能的阴阳卦组合中的第一种。钱生六阳。这可以用蓍草茎来表示，如果在几何上重新排列，可以设置成一个正六边形或星形六角形的图像。同样，我们也可以用同样的六杆作为立体图形的边缘，来构建主要的柏拉图图形——四面体。每一个这些巧合的事实都指向了六性的普遍性，特别是在创造方面。

所以我们将继续把这个几何图形看做六朵花！[图S4-024]这意味着在创造相似的圆的意义上的一种结构，这些圆在第一个圆之外移动。在这里，我们可以看到几何解释，不仅成为圣经创世故事的深刻隐喻，而且证明了一个圆的完美在于其周长容纳六个自己。我们可以称之为“天”,因为这六天中的每一天都在六个相等的方向上准确而对称地建立了创始者的映像。

通过采用和适当的方式，我们选择将中心的六重花称为“创造之花”。它奇怪地反映了1+2+3=6和1x2x3=6的算术行为中六的“完美”。几何精确地调和了现代人称之为“先验”的算术上不可解的π(p)。因此，圆的完美在几何上(固有地)与其周长的完美匹配。同样，几何结构避免了圆周率的不确定性。

这六瓣花具有重要的作用，它反映了“田野里的百合花”，当耶稣把它比作“穿着华丽的所罗门”时，它受到了赞美和推崇。百合花的花瓣有六重对称——即使它们经常用两种三来表达这一点。

这是对创世神话的第一次探索，它引导我们回到对统一或一的思考，这毕竟是任何宇宙的内在本质。

a.六重星可以被画成12条连续的折线返回到起始点。

b.也可以画成两个完全平衡交织的等边三角形。

作为实用工具的几何:当我们第一次需要为家庭使用创造表面或容器时，古老的编织技能就得到了。

画创造之花或六个圆圈的过程集中在中心的第七个圆圈上。

1. 我们自然地回到了最初的圈子。完整和永恒的象征。

——甚至是创造性的空虚。

中心点占据了基本的位置，但却不一定是明显的或“看到的”。

2.通过保持我们的圆规(我们刚刚画了我们的主要和原始的圆)在相同的半径，我们现在继续寻找建立中心的点。我们选择第一个圆的顶点。接下来我们继续画第二个同样半径的圆。

第二个圆的周长将在原来圆的2/3外(上方), 1/3在里面。如果画得准确的话，它也会穿过原圆的中心点。这自然证明了第一种结构的重要性。它是欧几里得《几何原本》第一个命题的基础，这个命题对于明眼人来说有着明显的哲学意义。

3.第二个圆穿过第一个圆的周长的两个地方，我们称之为c和d。下一个步骤是将我们的圆规指向名为d的位置，并继续绘制第三个圆。

4.这将在顶部切割我们的原始圆，我们称之为e点，在o点再次穿过圆心，在f点切割原始圆的周长。

5.我们现在从这个中心f画一个半径相同的第四个圆。这将把点d连接到中心o，并继续在g处切割周长。

6.我们继续以这种方式进行，以g点为中心，然后以I点为中心，直到我们回到顶部的e点。这将完成整个六重程序。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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