相对论对GPS时钟的影响和误差校正

1、相对论的影响

狭义相对论适用于惯性系，在一个惯性系中观察另一个高速运动惯性系中的时钟会变慢，这是相对参考系的观测效应，实际上在绝对参考系中时钟不会变慢。广义相对论讨论的是非惯性系，一个非惯性系中的时钟由于受到力产生加速和减速运动，会引起时钟变慢或变快，在非惯性系中的时钟的快慢还与受到的引力有关，引力越小时钟越快，引力越大时钟越慢。GPS卫星在非惯性系中围绕地球运动，且满足：

也就是说，v²r是一个常量，轨道半径r增大，卫星的线速度v会减小。当卫星从近地点运动到远地点，卫星是从小圆轨道变轨到大圆轨道上，这就需要卫星推进器克服地球引力做功，转化为卫星的位能，同时卫星减速。反过来卫星从远地点到近地点，卫星是从大圆轨道变轨到小圆轨道，引力做功转化卫星动能，提高了卫星的速度。卫星从低轨道到高轨道是减速，从高轨道到低轨道是加速，这种加速和减速对于时钟来说互相抵消，时钟不会变慢也不会变快。GPS卫星时钟相对论造成的误差来源于地球引力的作用，当卫星离地球表面很近时，星钟受地球的引力和地球上的时钟基本一样，所以星钟和地球上时钟的快慢也基本相同，当卫星在轨道上运行时，由于受到地球引力较小，所以星钟变快，相对论引起GPS时钟比地面时钟每天快38μs。

2、GPS时钟误差校正

卫星时钟的误差乘上光速就是定位误差。由相对论时钟误差引起定位误差 Δx= CΔt = 3x105x38x10-6 = 11.4km ，由此得出，未经相对论修正的GPS会产生较大的定位误差。影响定位误差除了卫星时钟误差以外，还有地面用户时钟误差，由于这种系统误差的存在，就会产生很大的定位误差，所以GPS在定位测量时必须消除这些系统误差，才能保证GPS定位的准确度，GPS卫星通常采用四颗卫星定位测量来消除系统误差。

GPS卫星时刻都在向全球发射电磁波信号，该信号包含时间T及该时间下卫星的坐标X、Y、Z等信息，当地面用户的接收器（安装GPS芯片）在t时刻接到该信息后，t减去T可得时间差 t，由于电磁波信号是以光速c（30万Km/s）运行，由此可得卫星与接收器之间的距离L=c· t，由于 t包含了卫星时钟误差和地面用户时钟误差，所以测量的距离误差就很大，因此GPS卫星通常采用四颗卫星同时测量的方法来消除误差。

如图1所示四颗卫星定位测量，GPS某个卫星（第i颗卫星）与用户接收器的距离：

L c（tb-Tb） c［（t+ t0）-（T+ T）］ c［（t-T）+（ t0- T0）］ c［ t+（ t0- T0）］

式中tb是地面时钟标准时间，Tb是星钟标准时间，t、T分别是地面时钟时间和星钟时间， t是卫星发射信号与地面时钟接收信号的时间差， t0、 T0分别是地面时钟误差和星钟误差，由四颗卫星测量的数据列出方程组：

式中 t0是地面用户时钟误差，四颗卫星同时测量的 t1、 t2、 t3、 t4相差不是太大，所以 t0基本不变， T0是卫星时钟误差，是相对论和电离层对电磁波折射因素造成的，也是基本相同，所以将两个误差合并，系统误差 tm t0- T0，方程组写成：

四个方程组，四个未知数，可以解出用户坐标x、y、z及系统误差 tm，从中可以看出，四颗卫星定位测量可以消除系统误差，提高测量精度。