数学史在高等数学教学中的意义和应用

1.引言

数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系的学科。[1]

数学史融入数学教学的观点由来已久，它在学生学习兴趣的培养、理解水平的提高、应用能力的提升及逻辑思维的拓展等方面有重要作用。但真正能把它高效地运用到课堂上的教师并不多，关于数学史在数学教学上的应用还需要更多的探讨和实践。本文将从数学史在高等数学教学中的意义和应用两方面进行讨论。

2.数学史在高等数学教学中的意义

数学史融入高等数学教学具有重要意义，主要体现在：

（1）史料知识本身有丰富的人物、问题的产生和发展过程以及时代的社会背景等故事情节，极具趣味性。英国科学家丹皮尔（W. C. Dampier）曾经说过：再也没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。[1]因此数学史的融入可以很好地引起学生的学习兴趣。

（2）对知识来源与发展的了解可以帮助学生更好的理解所学内容。很多学生首先从心理上认为高等数学知识与现实隔离，是不易理解的纯理论；其次相对于初等数学，高等数学的内容偏抽象复杂，对学生的学习能力要求更高。对问题产生的历史背景、前人思考和解决问题的轨迹的了解，不仅能提升知识的被接受力，也更容易助学生抓住所学知识的本质。

（3）数学概念、方法和思想来源于现实，产生于人们对世界的认知过程中，是在发现问题、解决问題中不断建立和完善起来的知识体系，有广泛的实际应用。通过对数学的起源、发展及其与其他学科联系的了解，可以提升学生的应用能力。

（4）前人思考问题和解决问题的方法可以带给我们很多启示，为现在和未来的学习过程中遇到的其他问题提供很多新思路。

（5）对数学知识大厦建立过程和伟大科学家们的认识能丰富学生的人文思想，提升自我立意和历史责任感，激励学生认真学习争取为人类进步做贡献。

实际上，将数学史融入数学教学的观点早已被正式提出。1972年，在英国埃克塞特（Exeter）召开的第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）。[2]自此，该观点被越来越多的人所熟悉，已有大量对其探索和研究的成果。但更多的成果旨在讨论数学史在数学教学中的意义，而对数学史在数学教学中的应用的研究仍在不断发展中，尚待更系统、有效、普遍认可的实践成果。并且，在实际教学中大部分教师并未在这一环节足够关注，数学史在数学课堂上的实际应用较少。一个很重要的原因是教师对数学史知识掌握不够或不能运用到位，所以教师要首先提高自身的数学史知识，然后要对行之有效的实施方法多做思考探索，不能将数学史这个在数学教学中的重要因素只停留在理论上。以下是我从四年的教学过程中总结的对数学史在高等数学课堂教学上应用的一些见解。

3.数学史在高等数学教学中的应用

首先，数学史在高等数学教学的第一次课堂上要发挥重要作用。从引导学生学习兴趣、让学生对本课程性质有初步了解以及培养学生端正的学习态度等多角度来说，把握好第一次课堂都很重要。第一次课上，在学习具体课程内容之前，可以先介绍初等数学与高等数学之间的差异，让学生对即将学习的内容有所了解，对两者之间的差异有心理准备。也可以简述数学发展史的关键阶段，让学生了解这门学科的建立过程。当然不只是在第一次课上，对数学史各阶段的了解也应该持续渗透在整个课程中。

其次，在讲解具体概念时，也要善于应用数学史。可以穿插讲述问题产生的历史背景、相关贡献的数学家及概念的演化过程。不仅会使整个学习过程变得生动形象，还有利于学生在该知识上的学习理解，也能丰满其内在的数学思想。

以下将从三方面具体说明如何将数学史应用在高等数学教学中：初等数学与高等数学的差异、数学发展史的概述、数学史在具体概念上的应用。

3.1 初等数学与高等数学的差異

初等数学与高等数学产生的历史时期不同，它们研究问题的对象、方法也有着本质的区别。概括的说，初等数学是常量数学，高等数学是变量数学。

3.1.1 研究背景

历史上很长一段时间，人类处于原始社会和封建社会，生产力水平并不高，从中发展起来的数学大多用于解决一些静止与规则类型的问题，也就是常量数学。16世纪开始，由于机械、航海和天文等领域技术发展的需要，如寻求行星轨道的近日点和远日点、确定炮弹的最大射程等，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，从而导致了变量数学的诞生。[1]

3.1.2 研究对象

两者在研究对象上从常量到变量有着质的变化，图1从几何与物理的角度给出了初等数学与高等数学研究对象上的一些比较（左侧图形代表初等数学，右侧图形代表高等数学）。[3]

3.1.3 研究方法

两者的研究方法上也发生了质的变化，以下通过两例来感受其中的区别：[3]

（1）曲线的切线

初等数学中也有曲线的切线问题的讨论，但都是基于静态的观点，将切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的切触线而与动态变化无关。[1]高等数学中曲线的定义是割线的极限位置。如图2，当曲线上点P沿曲线往点M无限接近时，割线MP的极限位置是切线MT，从而利用割线斜率取极限来求切线斜率。

（2）任意平面图形的面积

初等数学中只能利用已知面积公式计算规则图形面积，高等数学中能计算任意平面图形的面积。如图3是一任意曲线所围成的平面图形，用单位网格分割该图，被小正方形所覆盖部分面积易求，因此求该图面积关键在于求阴影部分这类小曲边形的面积。如图4，将这类曲边形分割后用若干小矩形面积之和近似曲边形面积，该近似值取小矩形在轴上的小区间长度无限缩小时的极限即为所求曲边形面积。

3.2数学发展史的概述

综合时代顺序、数学内容、社会背景等因素，数学史可分为以下四阶段：

（1）数学的起源与早期发展（公元前6世纪前），

（2）初等数学时期（公元前6世纪---16世纪），

（3）近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪---18世纪），

（4）现代数学时期（1820---现在）。[1]

早期数学是人类从生产活动中产生的数与形的概念，具有代表意义的是埃及、美索不达米亚数学中算术、几何的发源，其中不乏各类进制、分数计数、面积与体积的计算法则等先人的智慧。

初等数学发展有几个关键时期：希腊时期、东方时期、欧洲文艺复兴时期。

希腊数学中论证几何蓬勃发展。泰勒斯（Thales of Miletus）与毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos）开创了论证数学的先河；欧几里得（Euclid of Alexandria）的《原本》创立了历史上第一个数学公理体系；阿基米德（Archimedes）的数学著作集中探讨了与面积和体积计算相关的问题，如运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式；阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）的传世之作《圆锥曲线论》提出了我们现在通用的椭圆、双曲线和抛物线概念等。

以中国、印度和阿拉伯数学为代表的中世纪东方数学，有着强烈的算法精神。中国古代的数学著作《周髀算经》已经给出了勾股定理的证明；《九章算术》在算数、代数和几何三方面都有突破性的贡献，如方程组的消元法、一些规则平面图形的面积和立体图形的体积计算；刘徽的割圆术推算出了圆周率近似值，其后祖冲之对球体体积和圆周率进行了进一步计算等。印度数学以算术、代数为轴心，在算术方面，广泛使用了十进位值制记数法，并发明了印度阿拉伯数学符号，一直到现在世界各国都在使用；代数方面，印度人在求解一般方程和不定方程上有不少技巧。阿拉伯数学对初等代数学和三角学做出了创造性的贡献。

文艺复兴时期的欧洲数学是初等数学向近代数学过渡的一个转折点，在各个领域都有着了不起的进展。在代数方面，意大利数学家塔塔利亚（Niccolo Fontana）、卡尔丹（G. Cardano）对三次方程求解，费拉里（Ferrari Lodovico）对四次方程的求解都进行了系统、深入的研究。在三角学方面，继阿拉伯数学之后，德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus Johannes）完成了包括平面三角和球面三角的《三角全书》，使三角学彻底地独立于天文学。在几何方面，恢复了几何与实践的联系，意大利数学家阿尔贝蒂（L. B. Alberti）从建筑和绘画的需要出发，提出了透视法的数学原理，开创了一个崭新的领域透视几何学，为以后射影几何开辟了道路。

近代数学时期又称变量数学建立时期，该时期最大的一件事是微积分的创立，它也被誉为人类精神的最高胜利[1]。17世纪开始，由于机械、航海和天文等领域技术发展的需要，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。一大批科学家都致力于寻找有效的无穷小算法，牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm LEibniz）在总结前人工作的基础上先后独立发明了微积分。但微积分创立之初概念并不清楚严格，在之后的18世纪，微积分才进一步深入发展并逐渐严格化，也刺激和推动了许多数学新分支的产生，如微分方程、微分几何。大学时期高等数学所要学习的内容主要就是这一阶段发展起来相关概念。

到了19世纪，代数、几何、分析这三大领域都取得了突飞猛进的发展。微积分基础的严格化、近世代数的问世、非欧几何的诞生、集合论的创立都是这一时期的成就。[3]在这些变革与积累的基础上，20世纪的现代数学呈现出指数式的飞速发展。现代数学已成为分支众多的、庞大的知识体系，主要在纯粹数学、应用数学和计算数学这三方面，并表现出更高的抽象性、更强的统一性、更深入的基础探讨。[1]

3.3数学史在具体概念上的应用

在具体概念讲解时，除了要讲清知识内在的逻辑结构，还要注意传达概念问题产生的历史背景、相关贡献的数学家及概念的演化过程。以下通过极限的定义和无穷级数这两个内容做演示。

3.3.1 极限的定义

在极限的定义这一概念上，让很多学生感到理解困难的是和定义，且不明白为何直观上很好理解的概念却要给出这样抽象的定义。我想对这一概念形成过程的了解可以帮助学生解开这两个疑惑。

极限概念的形成可以追溯到两千多年前，我国庄子的名句一尺之锤，日取其半，万世不竭中已经蕴含了极限的思想，还有刘徽的割圆术，古希腊人的穷竭法等都是早期极限思想的代表。

到了17世纪，由于生产力发展迫切需要能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具。一大批科学家都致力于寻求相关算法，极限思想开始进一步发展。牛顿与莱布尼茨创立了微积分，并试图以极限概念作为其基础。但他们当时也还没完全弄清极限的概念，极限观念仅限于直观的语言描述：如果当无限增大时，无限地接近于常数，就说数列的极限为。虽然人们容易接受这种描述性语言，但是，这种定义没有定量的给出两个无限过程之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。[4]也正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑和攻击。因为随着微积分应用的广泛和深入，遇到的问题日益复杂，如研究天体运行的轨道等问题已经超出直观范围，在这种情况下，严格的极限定义就显得十分必要。

直到19世纪。法国数学家柯西（Cauchy Augustin Louis）比较完整的阐述了极限概念及其理论，后经德国数学家威尔斯特拉斯的进一步加工，才得到我们现在所用的定义：如果对任何，总存在正整数，使得当时，都有，则称数列的极限为。 这个定义借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻画了两个无限过程之间的联系。因此，這样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础。

3.3.2 无穷级数

无穷级数这一章的内容也是学生理解上的一个难点。一是从高中数列的有限项的和到现在无限项的和，直观上不易理解；二是级数种类、审敛方法多，容易混乱；三是为什么要将函数展成幂级数或傅里叶级数，看似不是更复杂了吗？因此有必要给学生介绍一些级数理论的历史发展帮助理清思路。

在古希腊无限性概念的早期探索时期，级数概念已经开始萌芽。芝诺（Zeno of Elea）提出了四个著名的悖论，其中有趣的阿基里斯（Achilles）追乌龟悖论中，若假设，则就是级数的和是否存在的问题。[5]我国战国时期庄子的名句一尺之锤，日取其半，万世不竭也蕴含了级数的思想。阿基米德在抛物线弓形求面积中利用穷竭法，将抛物线弓形的面积用一系列内接三角形的面积的和来穷竭，实际上就是等比级数的求和问题，但当时阿基米德用一间接的有限证法来完成了他的穷竭法证明，避开了无穷。这些时期还没有出现真正意义上的无穷级数概念。

到了14世纪，奥雷姆（Oresme Nicole）指出了等比级数当公比小于1时收敛，当公比大于等于1时和为无穷，发散，并证明了调和级数发散。虽然没有形成级数的具体概念，但对级数的研究推进了一大步。

17-18世纪，微积分理论蓬勃发展的同时，无穷级数的研究开始被更多的数学家关注。牛顿将无穷级数运用到了他的流数论中，由二项式定理得到了，，，，和等许多函数的级数展开式，莱布尼茨也独立地得到了，和等的级数展开式。另外摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值，为了适应航海、天文学和地理学的进展，要求三角函数、对数函数和航海表的插值有较大的精确度。泰勒（Brook Taylor）把GregoryNewton内插公式结合函数可导性发展成一个将函数展成无穷级数的最有力的方法。[6]但这一时期的数学家在级数方面的工作大都还是形式上的，对级数的收敛和发散问题还没有足够重视，也没有给出级数系统的理论。

19世纪初期，在数学家们展开数学分析严谨化的工作中，柯西是第一个认识到无穷级数理论并非多项式理论的平凡推广，而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家。他比较严格地给出了完整的级数理论，并给出了收敛的精确定义。19世纪之后无穷级数作为极重要的工具，在数学、物理、天文等专业学科上的发展上有着至关重要的作用，如进行科学计算上的数值逼近、在通信工程中利用傅里叶级数展开处理周期信号等。

数学史在高等数学教学中的应用除了以上三点，还可以在在教学中穿插数学家的故事和言行。比如介绍阿贝尔定理时，先介绍阿贝尔（Niels Henrik Abel）一生的经历：阿贝尔的一生是短暂且艰辛的，他27岁时与世长辞，但他却在方程论方面做出了杰出的贡献，并且还是椭圆函数论的创始人之一。再比如讲到欧拉（Leonhard Euler）方程时，可以讲讲欧拉的故事：他是历史上写论文最多的数学家，但在他28岁时噩运降临在他身上一只眼睛失明；在56岁那一年，他又双目失明、妻子逝世，这样的双重打击并没有减少他对数学的激情，他依然在奋斗。通过口述，他儿子记录的形式计算，他坚持了20年，直到最后一刻。[7]

也还可以在在教学中给同学们介绍一些历史上的趣味问题，如芝诺关于无限思想的四个著名悖论、世界三大数学猜想等，既能引起学生兴趣，也能带动学生勤思考。

4. 结语

我们现在所学习的知识是千百年来人类智慧的结晶，当然在学习过程中会遇到困难、挫折，即使这样我们在心态上也不必灰心消极，因为这些思想方法曾是经过千百年来一代又一代聪明的数学家们不断积累建立起来的，岂非一朝一夕就能学透彻。但同时在行动上也不能放松，我们现在学习的是前人发现总结的已知规律，与他们当时在未知中探索的困难相比微不足道，不应该放弃努力。同时，除了要认真学习课程中的知识，也要争取为人类知识的进步做出自己的贡献。