3.1.1方程的根与函数的零点   公开课教案

教学目标：

1、          能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、          理解函数的零点与方程的联系。

3、          渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：

1、          重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2、          难点：函数零点存在的条件。

教学过程：

1、          问题引入

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程
 方程的根
 二次函数
 图像与x轴的交点
 
x2-2x-3=0
 x1=-1，x2=3
 y=x2-2x-3
 （-1，0），（3，0）
 
x2-2x+1=0
 x1= x2=1
 y=x2-2x+1
 （1，0）
 
x2-2x+3=0
 无实数根
 y=x2-2x+3
 无交点
 

 （图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

 
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

 （图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

归纳：

（1）                   如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

（2）                   如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；

二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

2、          函数的零点

（1） 概念

对于函数y=f(x)(x d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x d)的零点。

（2） 意义

方程f(x)=0有实数根

                    函数y=f(x)的图像与x轴有交点

           函数y=f(x)有零点

（3） 求函数的零点

①  代数法：求方程f(x)=0的实数根

②  几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

3、          函数零点的存在性

（1） 二次函数的零点

=b2-4ac
 ax2+bx+c=0的实数根
 y=ax2+bx+c的零点数
 
0
 有两个不等的实数根x1、x2
 两个零点x1、 x2
 
=0
 有两个相等的实数根x1= x2
 一个零点x1（或x2）
 
0
 没有实数根
 没有零点
 
（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式 0时，函数y= ax2 +bx+c(a 0)的图像

（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式 =0时，函数y= ax2+bx+c(a 0)的图像

（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式 0时，函数y= ax2 +bx+c(a 0)的图像

（2） 探究发现

          问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？

          解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

              f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4

               f(2)* f(1)=-4*5=-20 0

          问题2：在区间[2,4]呢？

          解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3

              f(4)=42-2*4-3=5

              f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15 0                                                                                                                   

          归纳：

f(2)* f(1) 0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4) 0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

结论：

如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。

①   图像在 上的图像是连续不断的

②  

③   函数 在区间 内至少有一个零点

4、          习题演练

利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

①   y=－x2 3x 5 ， ②y=2x(x－2)+3

解：①令f(x)=－x2 3x 5,

 做出函数f(x)的图像，如下

（图4-1）

它与x轴有两个交点，所以方程－x2 3x 5 0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2 3x 5有两个零点。

②y=2x(x－2)+3可化为

做出函数f(x)的图像,如下：

 （图4-2）

它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2) －3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。