学生在学习《买文具》中的估算策略

一、问题
四年级上册有这样的题目：每个书包20元，140元可以买几个书包？
在二、三年级时，学生已经学习了除数是一位数的除法计算，基本掌握了除法计算的试商方法。除数是整十数的除法，其基本方法与前面相同，不同的是商的数值可能较大，在试商时又涉及到商的定位。这时，我鼓励学生进行多种尝试，能不能先来估一估得数的大致范围，或者想办法用已学过的知识来解决此题。果然，学生的思考让课堂大放异彩。
二、学生怎么想
生1：我估计140元不止买5个书包，因为我知道100除以20是5，140比100大，所以结果比5大。
生2：我知道140元买的书包的个数不会超过10个，因为10个书包要200元，而现在只有140元。
【分析】因为学生基本上对整百数比如100、200的计算相对较熟，所以有了生1、生2的估计。生1、生2的方法，先是把“每个书包20元，140元可以买几个书包？”中的数学问题“140 20 ？”进行了“重新表述”， “100 20=？”“200 20=？” 这是把问题中的数字进行了更改，以产生了一个从心理上更易运算的形式。这一改动与原问题有所区别，的目是求“得数的范围”，这是一个“转译”的过程。学生说：“因为140比100大，所以结果比5大。我估计140元不止买5个书包” 、“140元买的书包的个数不会超过10个，因为10个书包要200元，而现在只有140元”，这是对前面的估算过程做出的调整。当然，这里的调整是一个定性的描述，并没有付出具体的调整行为，得出精确的结果还需要“补偿”。众多的研究已揭示，估算的过程是由多种成分组成的。reys等人确认了在估算的过程中有三个估算成份：重新表述、转译、补偿。我们可以从生1、生2的方法中看出学生估算中的三个过程成分。
生3：我是采用分解被除数的方法：把140进行20、20的分，共分成7个20，依次用分出来的20除以除数20得到1，然后1 7 7。
生4：我也是采用分解被除数的方法的：把140分成100和40，100 20 5，40 20 2，5 2 7。
生5：我是把140分成60和80的，60 20 3，80 20 4，3 4 7
生6：我的想法是：140 200－60，200 20 10，60 20 3，10－3 7。
【分析】这几种方法是把被除数进行拆分，把140分成几个数的和.lemaire, l.ecacheur & farioli对十岁儿童估算时策略运用的一项考察发现，他们运用了四种策略：带分解的调整整数、不带分解的调整整数、截掉零数和构成互补。这几种算法可以看成是带分解的调整整数的策略。
生1、生2、生6把140看成是100或200的“整百数”，是估算中的常用策略。reys等人(1982)注意到优秀的成人估算者在估算中也使用了不同策略。最有用的策略就是注意最左边的一位数或几位数，通常称为“首位策略”。这其实与关注“数量级”的策略是一致的。
生7：我是这样想的：140 20 140 10 2 14 2 7
【分析】这种方法很独特，把20分解成10 2，就是把除数20分解成更小的数10和2，这样一来，化难为易，简单易行，也是一种带分解的调整整数的策略。。
生8：我认为14 2 7，那么140 20 7，因为算式14 2中被除数和除数同时扩大10倍变成140 20，结果不变。
【分析】这种方法是根据分数的基本性质来进行计算的，因为分数的分子和分母同时乘上相同的数（0除外），分数的大小不变。levine的研究发现大学生在估算中使用了八种基本策略，其中的第一种策略就是“使用分数关系”，生8的这种方法反映了这种策略在估算中的应用。
我把同学们的方法一一展示在黑板上，大家不约而同地说有八种方法。有个学生说：那岂不是八仙过海，各显神通？！这时，有个声音在嚷嚷着：等等，我还有一种用竖式直接计算的方法，九仙来啦！
三、启示
由于学生生活背景和思考角度不同，每一位学生对于同样的题目都可能有不同的估算方法，不同学生的估算策略也可能有所不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，在课堂上要积极组织学生交流各自的估算方法，从而让学生逐步发展估算意识和策略。