第十九章“四边形”简介

课程教材研究所　李海东 　同三角形一样，四边形也是基本的平面图形。也是本学段“空间与图形”的主要研究对象。本章将在前面学生学过的平行线和三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的有关性质和常用判定方法，并结合对相关内容的推理证明，发展学生的逻辑思维能力。本章共安排四个小节和三个选学内容，教学时间约需17课时，具体分配如下（仅供参考）： 　　19.1 平行四边形                                        5课时 　　19.2 特殊的平行四边                                    6课时 　　19.3 梯形                                              2课时 　　19.4 课题学习  重心                                    2课时  　　数学活动 　　小结                                               2课时 　　一、教科书内容和课程学习目标 　　（一）本章知识结构框图 　　本章知识结构如下图所示：  　　（二）教科书内容 　　四边形是人们日常生活中应用较广的一种几何图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的用处更多。因此，四边形既是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域主要研究的对象之一。本章是在学生前面学段已经学过的四边形知识、本学段学过的多边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上作进一步较系统的整理和研究，本章内容的学习也反复运用了平行线和三角形的知识。从这个角度上来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化。 　　由于学生前面学段已经接触过了一些四边形，在本学段七年级下册“三角形”一章中也研究了一般多边形及其内角和等内容，因此本章没有从一般的四边形讲起，在引言后直接进入了特殊的四边形的学习。对于特殊的四边形，教科书按对边之间的平行关系把它们分成了两类：两组对边分别平行的四边形 平行四边形，一组对边平行、另一组对边不平行的四边形 梯形。在平行四边形中，除了研究一般平行四边形外，还重点研究了矩形、菱形、正方形。在梯形中，重点研究了等腰梯形。 　　对于平行四边形，按照图形概念的从属关系，教科书把它分为三个层次安排了两个小节的内容。第一个层次是平行四边形，它是两组对边分别平行的四边形。教科书第1小节主要研究平行四边形的概念、性质和判定方法，作为判定方法的一个应用，引出了三角形中位线定理。在此基础上，教科书在第2小节“特殊的平行四边形”中，进一步研究了平行四边形的特殊情况。这里包含两个层次，第二个层次是矩形和菱形，它们都是有一个特殊条件的平行四边形，它们分别是平行四边形中有一个角是直角或有一组邻边相等的特殊的平行四边形。教科书第19.2.1节和第19.2.2节主要研究矩形和菱形的概念、性质和判定方法。在此基础上，进一步研究它们的特殊情况。第三个层次是同时具有两个特殊条件的平行四边形，即正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，又是有一组邻边相等的特殊矩形，所以正方形具有各种四边形所具有的性质。教科书第19.2.3节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质和判定方法。 　　梯形是与平行四边形并列的另一种特殊四边形，它有一组对边平行，另一组对边不平行。教科书在“19.3 梯形”中，除了研究一般的梯形外，重点研究了一种特殊的梯形 等腰梯形，研究等腰梯形的性质和判定方法。接下来，教科书安排了一个课题学习：重心。通过寻找几何图形的重心的活动，了解规则的几何图形的重心就是它的几何中心，体会数学与物理学科之间的联系。  　　本章内容的重点是平行四边形的定义、性质和判定。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的。它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承。梯形的性质、三角形中位线定理等的推证，也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用。另外，平行四边形的有关定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据，所以掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键。 　　本章的教学内容联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不太大。相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，则是本章的教学难点。因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象。在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错或多用或少用条件的错误。教学中要注意用“集合”的思想，结合教科书中的关系图，分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服这一难点的关键。 　（三）课程学习目标 　　1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系； 　　2．探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算； 　　3．探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心的物理意义； 　　4．通过经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力； 　　5．结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力； 　　6．通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。 　　二．本章编写特点 　　1．突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合 　　在本章，重点研究了一些特殊四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多。在教科书呈现时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。 　　例如，通过度量，归纳出平行四边形对边相等、对角相等的性质；利用平行四边形的旋转，探究发现平行四边形对角线互相平分的性质；通过扭动平行四边形框架，探究发现矩形的四个角都是直角、对角线相等的性质；利用菱形的轴对称性，探究发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角的性质；通过制作一些框架，探究发现平行四边形、矩形、菱形的一些判定方法等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 　　对于一些性质和判定方法的得出，除了要求学生先探究发现，再推理论证外，有些性质还要求学生能直接利用逻辑推理得出，使逻辑推理也成为得出性质的重要手段。例如，在学习平行四边形判定的开始，直接提出思考问题，通过将平行四边形的性质反过来，直接引出对边相等、对角相等、或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形的问题，这时学生可以继续下面的探究，通过制作平行四边形的过程发现平行四边形的判定方法，再通过进行推理证明结论。也可以直接从问题出发，通过推理证明得出平行四边形的判定方法。再如，在讲正方形时，要求学生直接根据正方形的定义以及它同矩形和菱形的关系，思考正方形的性质和判定方法，并要求学生证明其中的一些结论，等等。实际上，不仅观察、实验、归纳等合情推理是发现一些数学结论的手段，逻辑推理同样也是数学规律得以发现的重要手段。纵观数学历史的发展过程，我们可以发现，许多伟大的数学创造无不是通过逻辑推理发现的，数学中的逻辑推理促进了数学的不断创新和发展。 　　2．重视知识间的联系与综合   　　本章内容涉及了“空间与图形”中“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”等各个部分的内容。在教材编写时，力求注意各个部分内容的联系与综合，围绕对于特殊四边形的认识，有机地整合各个部分的内容。 　　例如，利用平移由平行四边形引出菱形的概念，利用图形的旋转发现平行四边形、矩形的性质，利用菱形的轴对称性探究菱形的性质等都体现了“图形与变换”与“图形的认识”的整合。再如，前面讲的利用逻辑推理发现图形的性质也体现了“图形与证明”与“图形的认识”的整合。教科书还安排了一个选学栏目“观察与猜想  平面直角坐标系中的特殊四边形”，包括利用特殊四边形的性质在平面直角坐标系中表示它们的顶点坐标，利用图形的顶点坐标证明一些特殊四边形的性质等，这些也都体现了“图形与坐标”与“图形的认识”“图形与证明”的有机整合。 　　再有，本章中各种特殊四边形的研究是按照一定的逻辑顺序展开的，如由平行四边形到矩形、菱形，再到正方形，这些知识本身之间联系非常紧密，在教材编写时，也充分注意到这一点。比如注意在原有属概念基础上通过附加一些条件（种差）扩大概念的内涵、减少概念的外延来引出新的种概念，在原有属概念的性质和判定方法的基础上来研究种概念的性质和判定方法。教学时，也要充分重视到这一点。 　　另外，学生在小学已经学过一些四边形的知识，如一些特殊四边形的概念、平行四边形、梯形的高、面积计算等等，在七年级下册“三角形”一章中，学生也已经学习了多边形、多边形的内角和等内容。在本章教科书编写时，对这些内容未作重复而是直接使用了。在教学时，可结合学生的实际情况，必要时进行适当复习，注意知识间的联系。一方面加深对学过知识的理解，也能起到温故而知新的作用。 　　3．重视渗透数学思想方法 　　在这一部分内容中，较多地应用矛盾转化的思想去处理问题。研究四边形的问题，经常是通过辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题。例如，通过连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质。反过来，在研究三角形的中位线时，又通过构造出平行四边形，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理。对于梯形的问题，则是常常通过平行移动梯形的一个腰或一条对角线，把梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题。在教学时，要让学生了解这些思想，引导学生添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题解决问题的能力。 　　另外，本章的概念比较多，概念之间联系密切，关系复杂，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法。通过分类可以帮助学生更好地掌握概念，同时也学习一些分类的方法。在本章的小结中，教科书通过图示给出了本章主要概念之间的关系，要让学生注意这些概念之间的区别和联系，进一步体会分类的思想。 　　4．注意联系实际 　　四边形是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊四边形用处更多，因此这部分内容与实际联系比较紧密。在教科书编写时，也充分注意到这一点。例如，在引入一些概念，如章前引言、平行四边形、菱形、梯形的概念，注意从实际引入。在研究性质和判定方法时，注意它们的实际应用。如安排“阅读与思考 平行四边形法则”，介绍平行四边形在计算向量加法时的应用；安排“实验与探究  巧拼正方形”，介绍正方形在实际中的应用；安排“课题学习 重心”，介绍特殊四边形的性质在确定它们重心时的应用；教科书的例、习题中也有一些实际应用的例子等等。这些材料都是从实际中提炼出来的，要通过这些知识的教学，帮助学生如何运用所学知识解决实际问题。还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。 　　三．几个值得关注的问题 　　1．重视概念的教学  　　本大节的难点是平行四边形和各种特殊平行四边形之间的区别和联系，因为它们的概念之间重叠交错，容易混淆。学生往往搞不清楚它们的共性、特性及其从属关系，有时掌握了它们的特殊性质，而忽视了共同性质。如有的学生不知道正方形是矩形，又是菱形，也是平行四边形，应用时常犯多用或少用条件的错误。教学时不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质，尤其要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质。也就是在讲清每个概念特征的同时，要强调它们的属概念。所以解决这个难点的关键是抓好概念教学，弄清这些概念之间的关系。而要弄清楚这些关系，最好是用图示的办法。例如，教科书小结中给出了各种四边形以及它们之间的关系的图形，研究正方形时也给出了它与矩形、菱形之间包含关系的图形。教学中要重视这些图形的使用，使学生弄清这些图形之间的关系。 　　弄清了这些图形之间的关系，还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即内涵越小，外延越大，反之外延越小，内涵越大。例如，正方形的定义中，包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征，它的外延很小，而四边形的外延很大。弄清了各种特殊平行四边形的定义，各种四边形之间的从属关系也就清楚了，它们的性质、判定定理也就不会用错了，也可以根据它的特征，自己推出所有性质。 　　2．进一步培养推理论证能力 　　从培养学生的逻辑思维能力来说，“四边形”这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段。这一章内容比较简单，证明方法也相对比较单一，学生前面已经进行了一些推理证明的训练。但这种训练只是初步，要进一步的巩固和提高。教学中同样要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。教科书在这方面也还是很重视的。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，有一些图形的性质是直接由已有的结论经过推理论证得出的。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中，除了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。另外也有一些文字叙述的证明题，要求学生自己写出已知、求证，再进行证明。这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加，但也能激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。 　　另外，在解决有关四边形、平行四边形和梯形的问题时，反复运用了平行线和三角形的有关知识，因此本章内容是平行线和三角形知识的深入和运用。但是，获得新知识后，要注意运用它们。随着知识的丰富，学生解决问题的途径也就增多了，在学完本章四边形的知识之后，就要引导学生直接运用这些知识解决有关问题，避免再通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，防止学生总在熟悉的三角形中兜圈子，不会运用新知识来解决问题。 　　3．注意帮助学生梳理知识内容 　　这一章的概念比较多，图形的性质和判定方法也比较多，虽然难度都不是很大，但要全部记住这些定理，也要花费许多时间和精力。同概念教学一样，解决这个问题也可以采用图示的办法。在学完了一个知识点后适时的引导学生对所学内容进行梳理，画出主要内容的图表，有利于学生掌握图形的概念和性质。例如，可以将正方形的有关内容列成下图：　　   　　类似的，我们也可以引导学生列出表示平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等图形概念、性质、判定方法等的图表，帮助学生理解这些概念。 　　4．重视信息技术的应用 　　在本章的教学中，有条件的学校还是要重视信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来．许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。 　　例如，本章许多图形的性质都是通过设置一些探究活动，利用模型，让图形动起来，在这种运动变化中发现图形的性质的。如平行四边形对角线互相平分的性质、矩形性质的得出、利用轴对称得到菱形的性质、探究中点四边形的性质等。这些运动，许多计算机软件都能实现。还有许多计算机软件具有测量功能，可以方便的测出角的大小和线段的长度，这也有利于在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质。利用一些软件的判断功能，可以直接验证特殊四边形的判定方法等等