初二数学教案设计：勾股定理的综合应用

　　勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一,它的应用极其广泛,现将常见的应用例析如下,供同学们参考。

　　一、利用勾股定理进行计算

　　1.求面积

　　例1:如图1,在等腰 ABC中,腰长AB=10cm,底BC=16cm,试求这个三角形面积。

　　析解:若能求出这个等腰三角形底边上的高,就可以求出这个三角形面积。而由等腰三角形"三线合一"性质,可联想作底边上的高AD,此时D也为底边的中点,这样在Rt ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以这个三角形面积为 BC AD= 16 6=48cm2。

　　2.求边长

　　例2:如图2,在 ABC中, C=135?,BC=,AC=2,试求AB的长。

　　析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考虑过点B作BD AC,交AC的延长线于D点,构成Rt CBD和Rt ABD。在Rt CBD中,因为 ACB=135?,所以 BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根据勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。

　　点评:这两道题有一个共同的特征,都没有现成的直角三角形,都是通过添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,借助勾股定理来解决问题的,这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想,请同学们要留心。

　　二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

　　例3:已知a,b,c为 ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断 ABC的形状。

　　析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判断 ABC的形状,设法求出式中的a,b,c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等,因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因为(a-5)2 0,(b-12)2 0,(c-13)2 0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因为52+122=132,所以a2+b2=c2,即 ABC是直角三角形。

　　点评:用代数方法来研究几何问题是勾股定理的.逆定理的"数形结合思想"的重要体现。

　　三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系

　　例4:如图3,在 ABC中, C=90?,D是AC的中点,DE AB于E点,试说明:BC2=BE2-AE2。

　　析解:由于要说明的是线段平方差问题,故可考虑利用勾股定理,注意到 C= BED= AED=90?及CD=AD,可连结BD来解决。因为 C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE AB,所以 BED= AED=90?,在Rt BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt AED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中点,所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以BC2=BE2-AE2。

　　点评:若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时,则可考虑构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题。