更为便捷的最大平面图四色着色方法

　　　　　　　　更为便捷的最大平面图四色着色方法 　
　
　　　　　　　　　　　　 浙江奉化　焦永溢　2014.2.18 　
　
　　本人已于2007年5月18日得到灵感，用一个非常简单的“减少法”能证明最大平面（球面）图着色可以做到“四色足够”。这个方法的原理是绝对正确的，按这个方法每次去掉若干个点（就是把多点包围一点的中心点去掉，再把周围的点进行合并）；但在具体的地图的着色时应用，就显得比较麻烦，每次去掉中心点时，必须用白纸把中心点（区域）盖上，再用与两旁一样的颜色填上，如例图1中所示，把左边车轮轮幅状改为右边斑马线状，这样的工作每一步都要做；为了避免遇到点与点的短路现象，还必须找整个平面图上最小度（就是外围点最少）的点来去掉。用这种“减少法”虽然理论上行得通，去地图上实际操作着色也行，但比较费时费力，开头几步还可以，步数多了，盖上去的纸厚了，可能还容易出错。过去的这几年里，我只知道自已的方法正确行得通，可以一步步的做下去，但从来没有用这这种方法去具体的给地图着色，因为做起来确实很麻烦。最近几天，我在给具体的地图着色过程中发现了一个更为便捷的在最大平面（球面）上用四色着色的方法，我自己暂把这个方法命名为扩大（或缩小）包围圈着色法。　 　
　　地图上多个区域连起来围成一圈时，也就是一条连续的线把多个点象项链一样串成一圈。当圈上总点数是偶数时，用两种颜色就能相互隔开；当圈上总点数是奇数时，用两种颜色外加一点第三色就能相互隔开。在球面图上用扩大（或缩小）包围圈着色法去四色着色时，一种方法可以从任一个点出发，一圈用红绿两色，一圈用黄蓝两色，再一圈用红绿两色……这样向外一圈圈扩大包围圈，再向球的另一面缩小包围圈（就如从地球一个极点出发，一圈圈扩大画纬线，直到过了赤道，再一圈圈缩小画纬线，直到缩小到另一个极点）。另一种方法也可把任意一个围起来的圈当作开始，分别向两边缩小（把这开始的一圈当成赤道，分别向南北半球一圈圈缩小画纬线，直到缩小到两个极点）。从一个极点到另一个极点连一条线，经过每个圈的一个点（就如一条经线穿越每一条纬线），只要这个点上着的色异于所在圈的两种颜色，就可使所有各圈间的颜色不会混乱，每圈只要两色，总共只要四种颜色。 　
　　这个异于本圈子的第三种颜色只能从两旁的另两种颜色中选，并要使这个点的颜色不与内、外圈相邻的点重色，就需要用一个很巧妙的办法才能行得通。 　
　　经过反复观察思考，我发现这个点怎样着色取决于这个点度的多少（就是这个点连接的线有多少）。在研究最大平面图时，已经把所有一度、二度、三度的点简化掉了，所以只要从四度的点开始分析。当这个点是四度时，东西方向各连一条，向南向北也各有一条，就是说南边与北边圈子上的任一点就可堵住了这点的出路（就如围棋中被四面围住的一个子），它除了四围的四个点外不与外界任何点有连接（如例图2的第二圈红绿圈中的蓝点，分别被内外两圈中的黄色及红色点封住了它向内与向外的连线），它就不会影响内、外两边黄蓝圈的着色。当这个点是五度以上时，就至少有一边的连接线会多于两条（如例图2的第三圈黄蓝圈中的红点，向内有四条连线，向外有两条连线），它向外有两条连线，就必须用两个点来堵住它，只能用第四圈红绿圈中的绿和另外的蓝两种颜色来堵住它；要是这点向外的度数再增加就会与第四圈的三种颜色都有连接线，红色就不可避免的要相邻了。同样这个需要用异样颜色的点向内的度数增加时，也会产生与内圈的三种颜色都有连接线，红色同样不可避免要相邻。当然第三圈中的这个点可以用黄色，但这一黄蓝圈的总点数不一定是偶数，就需要加进这个红色。可能有人会说，红色点可选黄蓝圈上别的点；不错，这里可以避开红色相邻，但红色在别处只要度数多也会遇到同样的情况。这个点该怎么着色才能不与内、外圈的着色相冲突呢？我找到了一个非常简单巧妙的好办法，就是当这个点向一边的连线多于三条时，在接下来一圈包围时暂不去堵住它，而是把它当成了下一圈中的一个点（如例图3所示，第一圈的这个由内向外有三条连线的点，被看成一个长长的点，第二圈着色操作时就要把它同时当成第二圈中的一点，成为了第二圈红绿圈中的异色点），下一圈第三圈着色时才用一个点堵住这个度数多的点（向内度数多的话也可如此处理）。总的来讲，遇到这条经线上的点度数较高（就是连接线较多），在接下来一圈图着色操作时不把这点包围而是当成本圈中的一点，这样就又用去了这个点的两条连线，要是还剩三条以上的话，可继续当下一圈中的点使用，直到这个点被下一圈的一个或两个点堵住。这个点除了正常在一圈中能被两边封住的四度或五度外，每向一边增加两度，就把这个点与下一圈共用一次。如果这个点足够大，那么它在经线上也就足够长，许多条的纬都来共用它。这样就能很方便的给任何球面地图四色着色。其实在确定每一圈的特殊点时可任意选，最好是选度数低的。但遇到度数高的点还是要把它一圈圈的共用下去，把这些异常点串接在一起是为了更加直观明了。 　
　　由中间向外扩大包围圈的方法在实际应用时，会遇到向各方向进度不一样的问题，有的方向已填色到了最外边，有的方向只到半中间。大家知道，在地球上每块陆地的最外边都是海洋，就是说每张地图外面都是被一个最大的点包围，我们可以把每幅地图的外面看成是一个点。当外面包围圈的部分点接触到外面的最大点时，这个最大的点也参加到了包围圈中，把剩下没着过色的空白包在其中，这时接下来的工作是一圈圈向空白内缩小包围圈。其实缩小包围圈与扩大包围圈只是次序逆向，也是可行的，再说在球面上内与外是向对的，在球的前面看是向外扩大，在球的后面看就是向内缩小。真正的最大平面（球面）图就是把海洋也算进去成为一个点，每个三边形都可看成为最大能包围所有的点，所以在球面地图上着色向内与向外其实是一样的。虽然到后来的包围圈形状会非常不规则，但都可看为一个个的圆圈，只有当这个圈内有地方缩小到与圈子对面的点相遇着，“0”字形的圈就成了“8”字形的两个圈，这也不用担心，把各个新产生的小的圈各自分别一圈圈用以上方法去填色，直到整个球面地图完成四色填色。