文：进击的鸡博士

编辑：进击的鸡博士

前言

长期以来人们对齿轮—转子系统的振动问题已经进行了大量的研究，以往的研究一部分集中于自由度数量小于等于10的齿轮系统的非线性问题。

而我们本次研究，将着重探究齿侧间隙和时变啮合刚度的影响。

为此建立了齿轮—转子耦合系统的动力学模型，并研究了转速对动态响应和动态啮合力的影响、齿侧间隙对系统振幅跳跃现象的影响规律，为工程实践中的齿轮—转子系统的振动特性分析提供了重要的依据。

非线性啮合力的动力学模型

首先我们建立非线性齿轮啮合力的模型，然后采用有限元法，形成整个系统的质量、刚度、阻尼和陀螺矩阵，得到系统的自由振动微分方程组。

根据齿轮在转子上的位置，将非线性啮合力作用到自由振动微分方程式中，从而得到系统的动力学模型。

这种模型的优点在于既保留了系统丰富的振动模态的信息，又考虑了非线性啮合力的影响。

图1所示的齿轮—转子系统中，主动齿轮和从动齿轮都安装在弹性轴上，轴承采用滚动轴承。

两个齿轮所在结点的自由度分别为y、x、、θ i 、θ yi 、θ xi ，i=p,g ，p表示主动齿轮，g表示从动齿轮。

两个齿轮沿着啮合线的相对位移，公式如下：

rp 和 rg 分别为主动和从动齿轮的基圆半径；α 为啮合角，忽略啮合线瞬态位置的变化对动态啮，合力的影响；et()为静态传动误差

α为啮合角，忽略啮合线瞬态位置的变化对动态啮合力的影响，et() 为静态传动误差。

齿侧间隙是引起齿轮系统发生非线性振动的重要因素，因为文中的间隙函数具有比较明确的物理含义。

它表明：沿着啮合线的相对位移大于齿侧间隙的一半时，齿轮处于正常啮合状态；

当沿着啮合线的相对位移小于齿侧间隙一半的正数，而又大于齿侧间隙一半的负数时，出现齿面瞬间分离现象；当沿着啮合线的相对位移小于齿侧间隙一半的负数时，出现齿背接触。

这种间隙函数是目前比较合理的齿侧间隙模型，故采用的是齿侧间隙位移函数来表示齿侧间隙的作用。

如图2所示，设齿侧间隙为2bn，则齿侧间隙函数为：

如图3所示，在一对齿轮啮合传动过程中，轮齿之间的动态啮合力与两根齿轮转子的振动位移密切相关。

我们采用轮齿啮合的弹性力和阻尼力来表示齿面间的作用力。根据齿轮沿啮合线的相对位移，可以求出啮合弹性力与啮合阻尼力，这两个力的合力就是轮齿间的动态啮合力公式：

式中，k(t)是时变啮合刚度；cm是啮合阻尼。

啮合阻尼 cm 和齿轮副组成的系统的固有频率ωn，可由式计算出来：

m为齿轮对的当量质量，Ip和Ig分别为齿轮轮盘的转动惯量。

轮齿刚度的精确值应该以实际测量的结果为准，但在不具备测量设备的条件下，可根据《机械工程手册》的标准计算轮齿刚度系数的方法，计算平均啮合刚度km。

将齿轮啮合综合刚度、静态传动误差和输入输出转矩展开成 Fourier级数形式：

式中，km为齿轮啮合副的平均啮合刚度，k2j–1和k2j为谐波项啮合刚度的幅值，ej 为静态传动误差的谐波幅值。

Tp 和 Tg 分别为作用在齿轮上的力矩，Ti和Tj 分别为转矩激励的谐波项。

ωm为齿轮啮合频率，ωm=zω，z是齿轮的齿数，ω为转频，ωp 和ωg分别为两个转子的角速度。

考虑到动态啮合力、转矩激励和不平衡质量的影响，我们以图3所示的坐标轴为参考系，确定激振力的正方向，则齿轮所在的节点处受到的激振力可由下列公式可得。

Wgx和 Wgy分别为从动齿轮所在结点处受到的 x 和 y 方向的激励，Mp 和 Mg 分别为主动和从动齿轮受到的转矩，ep 和 eg 分别为偏心距。

将啮合力的表示式代入方程式(11)可得：

我们采用有限元法建立弹性轴的模型，沿着转子的轴线把转子系统划分为轮盘、轴段与轴承座等单元，各单元之间彼此在结点处相联结。

弹性轴的每个节点具有5自由度。我们采用q来表示弹性轴的结点的位移列矢量：

弹性轴的自由振动微分方程式为：

式中，ms为弹性轴的协调质量矩阵ks为弹性轴的的刚度矩阵。

将滚动轴承简化为各向同性的弹性支承，根据轴承所在的结点位置，将滚动轴承的刚度系数矩 kb加到弹性轴的刚度矩阵ks上，得到系统的整体刚度矩阵k；

根据齿轮轮盘和飞轮轮盘在弹性轴上的结点位置，将齿轮轮盘和飞轮轮盘的集中质量、直径转动惯量和极转动惯量，加到弹性轴的协调质量矩阵ms对应的自由度上。

同理，可以将齿轮和飞轮的极转动惯量，加到弹性轴的陀螺矩阵对应的自由度上，陀螺矩阵G的大小与转速有关的公式为：

由齿轮—转子—轴承系统的运动微分方程式为：

当齿轮—转子系统存在不平衡故障时，将会产生幅值调制现象，此时齿轮系统的振动中幅值调制部分可表示为：

式中，D)t 包含调制频率，即齿轮所在轴的转动频率及其高次谐波的信号，接下来我们对Yt() 进行频谱分析，由信号Fourier变换。

FfY为Yt(t)的Fourier变换，FTfk为 kt(t) 的Fourier 变换，FTfD为D(t)t的Fourier 变换，并会在啮合频率及其谐波两侧，产生mIJIJωω = ( 1，2，3，...)的边频带。

用Newmark法进行数值计算

考虑齿侧间隙之后，方程为高维非线性微分方程，直接求解其解析解是非常困难的，本文采用Newmark法对方程式进行求解。

Newmark方法的优点在于满足一定参数条件下，该算法是无条件稳定的。

我们对一个实际的齿轮—转子振动试验台进行理论建模和数值计算，该齿轮—转子耦合系统振动试验台的结构如图 4 所示。

该试验台由一台可以通过变频器调整转速的电动机驱动。

我们采用绳子连接联轴器，从而尽量减小联轴器对系统的振动造成的影响。

四个压电加速度传感器，分别安装在离滚动轴承比较近的箱体上，齿轮—转子系统的结构参数如表1所示。

然后我们假设在齿侧间隙为40μm、静态传动误差幅值为10μm、输出转矩波动幅值为1Nm和输入转矩波动幅值为10Nm的条件下，分别计算多个转速下系统的动态响应。

因为齿轮啮合的频率比较高，位移传感器的测量结果难以体现高频成分，加速度传感器才能测量到高频成分。

为了与试验中测量到的振动加速度相比较，在计算出来的动态响应中我们只选取振动加速度。

扭转振动的频谱图中包含的频率成分，与弯曲振动的频谱图中包含的频率成份基本相同，故只提供弯曲振动的频谱图，数值仿真结果如图5 9所示。

由图5可知，齿侧间隙40μm且转速1kr/min条件下，弯曲振动加速度的频谱图，主要包括90倍频(啮合频率)、180倍频(啮合频率的2倍)和270倍频(啮合频率的3倍)，而1倍频的振幅比较小不明显。

由图6可知，当转速增大到1.5kr/min之后，弯曲振动加速度的频谱图仍然主要包括啮合频率、2倍的啮合频率和 3 倍的啮合频率。

由图7可知，当转速增大到2.3 kr/min时，此时弯曲振动的频率成分除了包含啮合频率、2倍的啮合频率和3倍的啮合频率之外，还包含连续的频率成分。

这个转速下连续的频率成分，是来源于齿侧间隙引起的齿面碰撞。

由图8可知，当转速为2.8kr/min 时，弯曲振动的频率除了包含啮合频率之外，还包含连续的频率成分。

由图9可知，当转速增大到 4.7kr/min时，弯曲振动频谱图中除了啮合频率及其高次谐波项之外，还出现了1倍频。

因此，齿侧间隙的存在会导致轮齿间的接触、脱齿、再接触的重复冲击，对齿轮系统的振动特性产生重要影响。

不同齿侧间隙下的数值仿真结果如图10 15所示。由图10可知，当转子的转速大约为2.3 kr/min时，出现一个共振峰值。

当转速为4.7kr/min 时，出现第二个共振峰值。这是因为转子的转速接近从动齿轮—转子的一阶弯曲振动临界转速所引起的共振。

从振幅跳跃图可知，当齿侧间隙相对较小时，升速和降速过程中振幅的变化没有形成滞后环。

假设齿侧间隙为60μm，其他条件如表1所示，数值仿真结果如图11可知，在升速过程和降速过程中，振幅都发生了跳跃现象。

假设齿侧间隙为80μm，其他条件如表 1所示，数值仿真结果如图12所示。

齿侧间隙为80μm时，升速和降速过程中，振幅跳跃现象比齿侧间隙为60μm时更明显，升速和降速过程之间形成了明取齿侧间隙为100μm，其他条件如表 1 所示。

数值仿真结果如图13所示，当齿侧间隙增大到100μm时，相对于齿侧间隙为80μm 的情况，升速和降速之间形成的滞后环更加大了。

取齿侧间隙为120μm，其他条件如表1所示。

数值仿真结果如图14所示，当齿侧间隙增大到120μm时，相对于齿侧间隙为100μm的情况，升速和降速之间形成的滞后环进一步增大了。

取齿侧间隙为140μm，其他条件如表 1 所示。

数值仿真结果如图15所示，当齿侧间隙增大到140μm时，相对于齿侧间隙为120μm 的情况，升速和降速之间形成的滞后环进一步增大了。

比较不同齿侧间隙下，升速和降速过程中形成的滞后环可知，随着齿侧间隙的逐渐增大，振幅跳跃现象也随之变得更明显。

动态啮合力与转速之间的关系在齿侧间隙为40μm、静态传动误差幅值10μm的情况，不同转速下的动态啮合力如图16 20所示。

由图16、17可知，当转速分别为1kr/min 和1.5kr/min 时，啮合力的频谱图中主要包含啮合频率及其高次谐波成分。

由图18可知，当转速为2.3 kr/min时，啮合力的频谱图主要包括1倍频、啮合频率及其高次谐波成分，还有部分转速下的连续频率成分。

由图19可知，当转速为2.8 kr/min 时，动态啮合力的频谱图中主要包含1倍频、啮合频率和部分连续频率成分。

由图20可知，当转速为4.7kr/min 时，因为接近弯曲振动一阶临界转速，所以1倍频的幅值越来越大。

频谱图中主要包含1倍频、啮合频率及其边频带、啮合频率的高次谐波及其边频带和部分连续频率成分。

试验验证

试验设备如图21所示，因为啮合频率比较高，所以采用加速度传感器测量齿轮箱箱体的振动。

我们采用一种装置，调整从动齿轮与主动齿轮之间的中心距，并将平均齿侧间隙调整到40μm。

进行试验研究的时候，在齿轮上涂抹固体润滑油，减小齿面之间的摩擦力的影响。

通过变频器控制电动机的转速，电动机的最高转速是2.9kr/min。

如图22所示，当转速为1kr/min 时，试验测量到的振动加速度的频谱图中主要包含了1倍频。

17.1Hz、啮合频率1497.4Hz和啮合频率的2倍2966.5Hz，比较理论计算结果与试验测量结果，即比较图5和图22。

试验测量中出现的频率成分与理论计算结果存在一些差别，主要是理论计算结果中1倍频的幅值比较小相对于啮合频率而言不明显，而试验测量中出现振幅比较小的1倍频(17.1Hz)。

这是由于理论计算时采用的偏心距与试验中存在的偏心距不同造成的。

由图23可知，当转速为1.5 kr/min时，测量结果的频谱图包括啮哈频率 2444Hz和啮合频率的2倍4567.3 Hz，在啮合频率的附近形成了明显的边频带，边频带的间隔是转频的4倍。

将图23与图6相比较可知，理论计算结果与试验测量结果基本相吻合，两者之间的差别在于理论计算中没有出现啮合频率附近的边频带。

由图24可知，当转速为2.3kr/min 时，测量到啮合频率3459.6 Hz及其边频带，因为频率比较高，测量误差变大，边频带的间隔大约是转频的3倍。

没有测量到啮合频率的2倍，原因应该是2倍的啮合频率远远超出了传感器的测量范围。

比较图24和图7可知，两者之间的差别主要在于理论计算结果包含部分连续频率成分。

计算得到的振动加速度与测量得到的振动加速度之间的差别如表2、3所示。

通过表2可知，计算值与试验值在振动加速度的幅值上相差较大。

通过表3的对比可知，计算值与试验值在频率成份上差别较小。

在转速1kr/min的工况下，计算出来的频率成份与测量出来的频率成份之间的差别最小。

试验与计算之间的误差主要来源于以下8个方面：

①理论模型中考虑了转矩激振力，而试验中的转矩波动激振力是未知的；

②飞轮和齿轮的真实偏心距是未知的，而1倍频的幅值、啮合频及其高次谐波项附近的边频带主要与不平衡质量的大小有关；

③试验中采用的齿轮受齿形误差的影响，其齿侧间隙并不是常数，而是符合一定的统计规律，通常为正态分布；

④因为齿数为90个，使得啮合频率为转频的90倍，啮合频率比较高，采用磁铁安装的加速度传感器的测量范围有限，随着转速越来越高，啮合频率越来越大，加速度传感器在测量上产生的误差也越来越大；

⑤理论模型中没有考虑齿轮箱箱体的影响，实际上箱体对系统的振动有一定的影响。

⑥齿轮的静态传动误差与制造、安装的精度有关，是未知的；

⑦控制电动机转速的变频器的输出频率与电动机的实际转频之间存在一定的误差；

⑧数值计算的结果是齿轮所在结点的响应，试验过程中，加速度传感器安装在离齿轮较近的箱体上，而齿轮啮合点处的振动经过轴、滚动轴承再传递到箱体的过程中，其振动会发生一些变化。

结论

根据实验我们发现，随着齿侧间隙的逐渐增大，振幅跳跃现象也随之增大。

在某一固定的齿侧间隙下，齿轮—转子系统的动态响应主要包括啮合频率及其高次谐波。

随着转速的逐渐升高，还会出现1倍频、啮合频率的边频带和啮合频率的高次谐波的边频带。

试验结果表明：理论计算结果与试验结果的频率成份基本相同。

但是由于理论模型与试验台真实模型之间存在差别，试验过程中存在制造误差、安装误差和试验测量误差，使得数值仿真和试验测量之间存在一定的误差。