文 |阿离言

编辑 |阿离言

序

风力机的行星齿轮传动系统是将风能转化为电能的核心组成部分，然而在实际运行中，风力机所面临的变载荷情况，使得行星齿轮传动系统的动态特性研究变得至关重要。

对于这种经常出现的情况，我们团队分析了变载荷对行星齿轮传动系统动态特性，对行星齿轮传动系统的结构和工作原理进行了分析，希望能够通过数学建模和仿真技术，对齿轮传动系统的动态特征进行研究。

那么行星齿轮传动系统究竟有着怎样的结构？又有着什么样的动态特征呢？

变载荷下的齿轮时变啮合刚度计算

齿轮传动系统作为机械传动中必不可少的一个环节，具有诸多的优点，如今齿轮传动系统也在朝着重载等模式发展着，从而也带了齿轮弹性变形的增加，进而会出现齿轮啮合的冲击、轴向的偏载以及转速的不稳定性。

与此同时也存在着各种问题的叠加振动情况，也造成了传动过程中出现较大的振动、精度降低，较大的噪声等问题。

而啮合刚度激励作为主要的激励形式之一，自然也在逐渐受到研究人员的广泛重视。

齿轮啮合原理图

齿轮的传动过程是通过轮齿的交替啮合而实现的，如上图所示，主动轮沿逆时针方向进行转动，从而从动轮顺时针方向转动。

自此两齿轮开始进入啮合的过程，这源于主动轮的齿根圆与啮合线N1N2的交点B1，此时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触，随着啮合过程的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线N1N2向左移动，最终脱离啮合。

按石川法计算时的轮齿模型

而啮合过程终止于主动轮齿顶圆与啮合线的交点B2处，即主动轮的齿顶与从动轮的齿根脱离接触时，在这一过程中，单齿啮合(A1A2段)与双齿啮合(A1B1段,A2B2段)交替进行，齿轮的刚度也因此发生着变化。

这种持续变化，会对轮齿产生冲击作用，同时由于各啮合刚度的不同及弹性变形的作用，负载在参与啮合的轮齿间并非平均分配。

在啮合过程中，轮齿的变形会发生不断的改变，轮齿的啮合刚度也在不断发生变化。其求解的关键是在于齿轮变形的求解过程，由于传统的啮合刚度计算方法只是单纯的通过弹性力学的方式进行理论计算，并未能全面的考虑到接触、摩擦以及齿侧间隙等其他因素，所以仍然存在着一些不足。

有限元模型的构建

在对计算方式和求解过程等有了一定的理解之后，就需要对整个行星齿轮传动系统进行有限元模型构建了，为此我们团队建立了太阳轮与行星轮的外啮合齿轮模型，如下图所示。

图中太阳轮作为主动轮施加760N•m的转矩，同时将动轮的行星轮进行固定，对其施加全约束， 这时就会发现该模型载荷施加原则符合啮合刚度计算过程中的基本理论，最后运用有限元中的静力学模块对该有限元模型求解。

齿轮啮合模型

先将太阳轮与行星轮这一对外啮合齿轮使用软件进行建模，为了保证模型的准确性，特选用参数化的建模方式，以保证其真实性，根据提供的齿轮参数进行软件参数化建模。

接下来，我们团队通过有限元法使用有限元软件ANSYS，目的主要是求解系统的弹性变形，该软件具有普遍性，被广泛的使用，其次该软件的设计的良好性，能较为全面的求解出系统的变形量，具有准确性。

由于齿轮在啮合过程中，轮齿啮合个数和啮合位置的不同，则其各种变形也不相同，所以，轮齿的啮合刚度也肯定是发生改变的，应该注意的是，根据计算轮齿的刚度目的的不同，可以有各种不同的定义。

此前轮齿刚度定义为，没有误差的直齿轮，其一对轮齿在分度圆上均匀接触时，每单位齿宽的齿面法向力与每个轮齿齿面法向总变形之比值。

在ISO的强度计算公式中，定义了两种不同的轮齿刚度，一种指没有误差的一对轮齿相啮合时，轮齿轴向单位齿宽的切向力与每个轮齿端面的法向变形之比的最大值，这个值近似等于在节点和危险点啮合时的刚度值。

第二种指的是轮齿啮合过程中轮齿总刚度的平均值，定义为在没有误差的齿轮传递动力时，轴向单位齿宽的切向力与把被动齿轮对主动齿轮的平均回转滞后角，转换到啮合在线的距离之比值。

其采用有限元法计算齿轮啮合刚度时，为避免计算量过大，对计算模型做出了简化，对于不参与啮合的，离轮齿啮合区域较远的轮齿采取了删除处理，以避免计算模型产生过多的网格，消耗过大的系统资源。

由于滑动摩擦作用对轮齿接触部分的变形影响不大，故假设轮齿接触时无摩擦作用，由于三维实体模型的理想型，则不考虑各种零件误差所带来的影响，假设齿轮材料具有均匀的各项同性，弹性变形符合胡克定律。

啮合齿轮有限元网格划分方式

同时为了进一步保证好齿轮模型的准确性，使用软件进行建立的三维模型导入有限元软件并建立有限元模型，定义轮齿材料为钢材，弹性模量 E=2.06 101 1Pa，泊松比为0.3，密度ρ=7850kg/m3，如图所示。

在进行网格划分时，采用映射方式六面体网格，并使用扫掠的形式对模型进行网格划分，该网格具有提高计算精度和减少模型的计算量优点，从而减少计算时间提高计算速度。

载荷约束施加方式

为此我们团队将接触区域进行了网格细化，共计21000个节点，以此来增加计算求解结果的精确性，然后将齿轮内圈以及距离啮合位置较远的区域进行稀疏的划分方式，可以使该求解的过程更加快速，从而减少一定的工程计算量。

由于六面体网格划分需要耗费大量时间，且对划分方式的要求较高，但网格数量较少，可节省计算时间同时提高了求解精度，但六面体网格对几何模型的拟合能力较差，具有较高的计算稳定性。

有限元模型中载荷施加

所以对于轮齿，轮缘等轴向几何结构变化较小部分，以及轮齿接触和齿根等产生应力集中，计算要求比较高的部分采用较密集六面体网格划分。

而四面体单元则对几何模型的拟合能力较强，故对于复杂形状，计算精度要求不是很高的轮毂部分采用四面体网格划分，在接触部位的网格要密一些，并且两接触面网格尽可能相互匹配，如上图所示。

这时只需将载荷均匀的施加在主动轮内圈的各个节点上，如上图所示，载荷施加的过程中由于施加的为切向载荷，在需要将坐标系进行转化，从传统的笛卡尔坐标系转化成圆柱坐标系，以保证Y 方向为圆周，再将载荷切向力的形式进行施加，施加载荷的原则满足啮合刚度计算的原则。

当边界条件定义时，依据是物理模型的装配关系，以太阳轮为主动轮，由于其内圈有轴承支承，故在构建有限元模型时取其内圈为刚性薄壁，只保留主动轮的旋转自由度，即约束该内圈上的所有节点的径向自由度。

齿轮接触的定义

通过上述边界条件的定义，我们团队确定了该对齿轮的外在约束及作用载荷，但对于该齿轮副还存在轮齿的接触约束，由于接触计算是一种非线性计算方式，需要较大的计算资源，所以建立合理的计算接触模型时尤为重要的。

另外，使用ANSYS在求解接触问题时，均是使用接触向导来构建接触对，该方法可以自动定义接触单元类型以及实常数，从而能较快的获取接触选项以及相关参数，可以观察接触对。

接触对构建过程中的接触面和目标面选定的原则有几条需要注意的地方，如果凸面与平面或凹面接触，平面或凹面应该为接触面，如果一个表面网格较粗糙，另一个表面网格较细，那么网格较粗糙的表面应该是目标面。

如果一个表面比另一个表面刚度大，那么刚度大的表面应该为目标面，如果一个表面划为高阶单元，而另一个表面为低阶单元，那么划分为低阶单元的表面应该为目标面。

有限元接触对模型

但是如果一个表面比另一个表面大，那么较大的应该为目标面，定义齿轮啮合的接触分析是，构建的接触对中还是考虑到一小齿轮齿面为目标面，大齿轮面为接触面，如图所示。

在求解时，Ansys软件提供了罚函数法、拉格朗日法等多种求解方法，在此选用罚函数法，该方法允许接触表面存在一定量的渗透，并通过改变接触刚度值来控制表面渗透的程度，由此可见法向接触刚度因子的选取对接触问题非常有意义。

而边界条件的施加原则是以从动轮内圈施加了全约束的形式，主动轮内圈各个节点约束横向自由度，同时在主动轮上施加扭矩的效果。

需注意在对主动轮施加转矩的过程中，要施加在主动轮内圈所有节点位置处，同时坐标系需要从笛卡尔坐标系转换成圆柱坐标系，并且将转矩分解到各个节点上进行施加，在载荷施加的过程中，我们团队采用如上图所示的公式来进行计算。

偏载情况对时变啮合刚度的影响

得到结果后需要注意，主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作，齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声，同时当轴承支撑的轴在支撑处的转角如果过大时，会增加轴承的磨损。

如下图所示，由于齿轮的位置对轴承不对称时，由于轴的弯曲变形，齿轮将相互倾斜，形成轴向偏载的情况。

轴向偏载示意图

通过此前的分析，我们团队清楚地知道轴发生弯曲的原因，则主要轴发生弯曲后，齿轮啮合刚度的变化趋也非常明显，很容易就能够得出结果。

从下图的结果当中可以看出，轴向偏载的存在，并不影响啮合刚度变化的曲线形式，只影响啮合刚度的具体数值，随着轴向偏载量的增大，其啮合刚度值在减小。

轴向偏载时刚度的变化曲线

同时可以看出，偏载量的改变，对双齿啮合区域的啮合刚度的影响更明显，下降幅度更大，刚度随着轴向偏载的变化原因是由于齿轮在啮入啮出的过程中，将产生齿顶的干涉情况，造成齿顶处等效应力相对集中，从而产生这种情况。

下图的结果主要是对比不同的偏载情况下，其接触位置以及等效应力的变化情况，随着偏载量的改变，主要接触区域发生了偏移，主要朝着偏载方向移动。

啮合区域应力分布图

由此可以清楚的看出，接触区域的改变势必会影响到其啮合刚度的变化，接触线两侧的应力分布范围也出现了较大改变，接触线上方沿着齿顶方向接触应力变化更为剧烈，同时接触线下方沿着齿根方向接触应力变化也较为剧烈。

负载变化对时变啮合刚度的影响

另外，系统载荷的变化，势必会影响到系统的稳定性，我们团队就从外载荷的改变对系统时变啮合刚度的影响入手，考虑负载的改变对单齿啮合状态和双齿啮合状态下，啮合刚度的影响和自身变化情况。

双齿啮合时负载对于轮齿刚度的变化曲线

这时再选取处于双齿啮合位置处的轮齿，分别在理想状态以及轴向偏载情况下的模型，施加不同负载进行研究，讨论轮齿啮合刚度随负载的变化规律，如图所示。

从图中可以看出，将曲线分成小载荷区域与搭载和区域，分界转矩为185N·m，在双齿啮合状态下时，小载荷区域的变化随着负载的增大，时变啮合刚度呈线性增大的趋势，大载荷区域的啮合刚度则趋于平稳。

单齿啮合时负载对于轮齿刚度的变化曲线

同时偏载量出现后的小载荷区域内，时变啮合刚度值的增加量要远小于理想状态下的增加量，当载荷超过185N·m后趋于稳定的状态，当载荷从290N·m增加到330N·m时，轮齿刚度差值为0.323 N/m，逐渐趋于稳定。

理想状态下，当载荷从25N·m增加到330N·m时，轮齿刚度差值为3.535 108N/m，带轴齿轮发生轴向偏载为3μ的情况下，当载荷从25N·m增加到330N·m时，刚度增加了3.03 108N/m，增加量小于理想状态。

区域应力分布图(小载荷)

而大载荷区域内，轴向偏载越大则其刚度变化曲线趋于稳定的速度更快，大载荷区域内，轴向 偏载越大则其刚度变化曲线趋于稳定的速度更快。

因为使用相同的方法，会有相同的负载，可以以此观察单齿啮合下，负载对时变啮合刚度的影响，同时在偏载出现的情况下，系统时变啮合刚度随负载的变化情况如图所示。

啮合区域应力分布图(大载荷)

从这一部分的结果可以看出，此时时变啮合刚度变化趋势与双齿啮合状态下，变化趋势基本一致，区别在于分界位置发生了改变，此时的分界载荷扭矩为200N·m。

从上图可以看出，增加同样负载的情况下，轴向偏载的齿轮增加的轮齿刚度相对的要小于理想情况下的，其单齿啮合时轮齿刚度随负载的变化规律，基本与双齿啮合状态下轮齿刚度随负载的变化规律类似。

这也证明了，我们团队此前做的假设成立，当负载发生变化时，两种情况的变化规律非常相似，都必然会使得齿轮的刚度变强。

结语

变载荷下的风力机行星齿轮传动系统动态特性研究，主要是为了深入研究风力机行星齿轮传动系统，在变载荷情况下的动态特性，为提高风力机的可靠性和性能带来可能性。

我们团队通过对行星齿轮传动系统的结构和工作原理进行深入分析，建立了准确的动态模型，并考虑了载荷变化对齿轮啮合接触、振动响应和传动效率等多种因素的影响。

最终通过对于有限元模型的分析，再加上对于传动系统的仿真模拟，证实了整个模型的准确性，并获取了实际工作条件下行星齿轮传动系统的动态性能数据，验证了此前的猜想。