文|卑微的小书丁

编辑|卑微的小书丁

前言

量子信息开拓了量子力学应用的新天地，为21世纪信息科学的发展提供了新的原理和方法，近年来，物理学家加入研究行列，他们成功地将量子理论和信息科学结合起来，提出许多令人耳目一新的概念、原理和方法。

当前量子计算机、量子通信和密码术等已经成为研究热点，并取得重要进展，量子信息是指以量子力学基本原理为基础、通过量子系统的各种相干特性(如量子并行、量子纠缠和量子不可克隆等)进行计算、编码和信息传输的全新信息方式。

量子纠缠自被提出以来，就得到了广泛的关注和研究，借助于Yangian代数理论可以描述量子张量空间中特有复合态的性质和行为去解决量子纠缠、保真度、量子控制等领域的一些非线性物理问题是很有意义的。

本文基于通过调节电容和LC电路来调节和改变纠缠度的研究，主要研究了两种不同类型的超导qubits(相同和不同超导qubits)间的热纠缠，对两种类型的超导qubits系统，分别研究了热纠缠随参数的演化规律。

背景分析

由于量子纠缠在量子信息和量子计算中都起着核心的作用，量子纠缠自从问世以来，就得到了科学家们的广泛青睐，大量的文章从理论和实验上都报道了关于量子纠缠的研究。

目前已经有关于量子纠缠在实验上制备的方法，然而对于如何制备比较好地纠缠态，仍然是一个开放性的问题，还需要很多关于如何制备、维持、调节纠缠的研究，来促进量子信息科学的蓬勃发展。

从目前的研究可以知道，主要兴趣是关注于精确制备、维持和调控系统的纠缠，已知温度和磁场可以用来制备、调节、维持相应的纠缠，那有没有其他更好方法来控制量子纠缠，本文将基于这个目的，展开进一步的研究。

对于微观系统，量子比特(Qubit)是量子计算机的基本构成单元,不同qubits之间的纠缠已经得到研究，而超导量子比特基于固态电路,是最具潜力的量子信息处理方案之一。

超导qubit具有超导和量子的双重特性，并且实验上可以实现操作，因此被物理学家所看好，认为是实现量子计算最适合的候选材料载体，在实验上超导qubit的纠缠已经被实现。

但固态系统的相干性容易受外界环境影响，因此实现具有实用价值的固态量子比特是非常有挑战性的工作，所以对如何获得高质量的纠缠对仍然是个开放性的问题，受到很大的关注。

利用纠缠现有的理论知识，去研究实验上可操作的模型，从而给出理论与实验相结合的结果，以至于指导实验上如何获得更好的纠缠，因此，对于这种可以实验操作的模型的研究变得非常有意义。

对超导qubits，科学家可以利用量子态的操控产生部分纠缠态，然而对于高质量的量子态还是需要的，对于耦合chargequbits和耦合phasequbits已经可以产生纠缠，但是最大纠缠态仅存在于理论上。

另一方面，最近的实验已经观察到两超导qubits之间存在着非常强的耦合，此外我们已经对纠缠在实验和理论之间的联系做了一些研究。

在具有相同的Josephson能超导qubits系统中，主要研究了温度和Josephson能对纠缠的影响，其结果显示出了在低温时，获得了非常高的纠缠。

此外通过比较，理论计算结果和实验测量结果吻合的非常好，这就从另一方面论证了理论计算的正确性，尤其是对纠缠理论计算公式，所以利用研究的结果去设计相应的实验参数，就可以获得非常好的纠缠特性的qubits对。

对不同类型的超导qubits的研究，从另一个方面也证明，在低温和qubits对具有相同的Josephson能时，也可以获得较高质量的纠缠。

所以我们的研究结果表明适当的去调节参数，可以获得比较高的量子纠缠，并且希望我们的理论研究结果可以给从事纠缠设计的实验者提供一些有利的数据和帮助。

实验上可以操控的2-超导qubit系统模型介绍

我们所选的模型是M.D.Shaw等人在实验上所研究的2-超导qubit系统，并且此模型也引起了很多研究者的关注和研究,此模型的哈密顿量可以写为：

其中ECi、EJi、Em(i=1,2)分别是第i个qubit的电荷能、Josephson 能以及两qubits之间的耦合能，在实验上它们都是由相应的电容、电荷所决定,此模型通过一个固定的电容相耦合。

对于超导材料作为一种超导体都有一个转变温度TC，此温度可以通过改变不同的材料等来调节，由于超导材料作为一种超导体有其自己临界温度，对于可实现的有效的多重超导电路其临界温度Tc在mK范围内。

为了计算简化和实验上好控制，我们下面的计算严格控制在简并点ng1=ng2=0.5，这个条件也是对外部噪音不敏感的条件，因此在这个条件下，系统的哈密顿量可以被约化为：

此约化哈密顿量也被用来研究过量子门，利用薛定谔方程，经过计算，哈密顿方程的本征态和本征值分别为：

Ni是第i个本征态的归一化系数，由方程系统的本征值表达式可以获得，当EJ1EJ2>0时，|Ψ4>是系统的基态，然而当EJ1EJ2<0时，系统的基态是|Ψ1>，另一个值得注意的是当EJ1EJ2时，系统的基态将出现简并。

模型热纠缠的演化

为了更方便的研究模型的纠缠，W引入了concurrence的概念和计算方法，它是纠缠的单调的函数，取值范围为0 C 1，C=0对应着系统处于可分离态，C=1对应着系统处于最大纠缠态，对于二体系统concurrence计算公式可以表述为：

其中的λi是按照降序排列，是下面算符本征值的算术平方根，

这里σy12是两qubits的泡利自旋矩阵，p=(1/Z)exp(-H/kT)是系统在热力学平衡态时的密度矩阵，其中Z=exp(-H/kT)是配分函数，通过计算可得系统的密度矩阵为：

这样我们可以利用上面concurrence的计算公式，可以计算得到系统的concurrence值。

对于两个相同的超导qubits，EJ1=EJ2=EJ,EC1=EC2时，系统的哈密顿量可重新写为：

其中的参数可以通过实验电路中的电容来调节，相似的模型(EJ作为磁场时)也被研究讨论过。

通过计算，可以得到Eq的本征值和本征态为：

其中D=E2m+E2J，四个本征态中的|ψ1>和|ψ2>是四个最大纠缠态Bell态中的两个，|ψ3>和

|ψ4>也是Bell态的叠加态。

所以利用上面的方法，我们得到了此时的系统的本征态和本征值，从而可计算获得系统的密度矩阵为

由此我们得到了系统在相同qubits时的密度矩阵，利用方程，可计算获得此时的系统纠缠concurrence的值。

为了计算方便，不是一般性，我们在下面的计算中，设k=1，Em/k=1为能量单元，单位是mK，为了书写方便，我们只写它们得数值，此外值得注意的是对EJ=0时，哈密顿量只剩下最后一项，处于可分离态，因此没有纠缠，即C=0。

在EJ 0时，concurrence作为EJ和温度T的函数，相应的演化被展现在Fig.1中。

在不同温度下，concurrence随着Josephson能EJ演化的二维图，图上星号为实验数据，插图为concurrence随着Josephson能EJ和温度T演化的三维图。

系统的concurrence对EJ和T演化规律，是非单调的演化，然而对于EJ 0时，本征态将是两两简并,此时系统只有两个能级。

因此系统在EJ=0时出现能级交叉，系统的基态发生突变，基态变为本征态|ψ1>和|ψ4>的简并态，然而当EJ稍微远离0点增加时，即无限小的增加时，系统的concurrence将急剧升高到一个极值点，当EJ继续增加时，系统的C将下降。

当系统处在零温时，系统的纠缠主要有|ψ4>决定，即系统的基态起着最重要的作用。

随着温度增加，C出现的极值点将下降，是由于系统在极低的温度下，系统纠缠主要取决于基态，然而当系统的温度升高时，在热力学平衡态下基态与激发态混合，混合态共同来决定着系统的concurrence。

为了说明这种特性，作出C随着EJ和C随着T的演化行为图，来说明和分析C的变化规律，EJ=0时，系统没有纠缠，C=0，随着EJ的增加，C首先迅速地增加大最大值，然后快速下降，最后缓慢下降到一个渐进的值。

当EJ达到一定数值时，系统的C演化趋于稳定的一致，此外，当系统的EJ和T都比较低时，系统的纠缠特性最好，所以如果合理的控制实验参数在这样的范围内，就会得到较高的纠缠，当选Em作为能量单元时，我们可以得到：

对于T=20mK，EJ=3.625时，实验测的值为C=0.27，而理论数值是C=0.26593，两者展现出了精确的一致。

由下图可知，对于比较小的EJ，例如EJ=0.5，concurrence变化非常大，但是对于比较大的EJ，concurrence的这种变化就不明显，当T=0时，系统处于基态，并且C完全有基态决定，对EJ=0.5经计算C 0.9。

随着EJ的增加，|ψ4>的纠缠将下降，所以曲线和C轴的交点也随之下降，对于一个较小的固定的EJ，随着温度的升高，基态和其他的三个激发态混合，纠缠将急剧下降。

另一方面，对于一个较大的EJ，C的变化行为变的非常缓慢，在T TC情况下，最后C趋向于稳定，因此在温度比较低时，concurrence对较小的EJ非常敏感。

对于不同的超导qubits系统，可以利用方程来计算获得系统的concurrence值，为了更好的区别在相同温度下相同和不同超导qubits对纠缠的影响，作出上图。

描述了在Josephson能EJ2=17.2时，concurrence作为温度T和Josephson能EJ1函数的演化行为。通过比较可以非常明显的看出在相同的低温时，对不同的超导qubits系统的C值远小于相同超导qubits时C值。

上图是在T=20mK时C作为EJ1和EJ2的函数的等势图，由图我们可以清晰的看出当EJ1和EJ2越小越接近且不等于零时，系统的C越大，反之越小，这从另一个方面说明了在相同温度下，在相同超导qubits,EJ1=EJ2时，系统获得的纠缠越好。

当两个Josephson能相差越大时，C将下降，利用实验数据EJ1=13.6,EJ2=17.2时，实验测得结果是C=0.06，理论计算结果是C=0.064，其结果吻合也是很好。

上图为在T=20mK，两种不同的EJ2取值时，concurrence作为Josephson能EJ1的函数的二维图，为了更细致的比较结果，展现出两种情况下的concurrence的演化规律。

从图我们可以清晰的发现它们的不同之处，首先最明显的是其最大C值差别很大，相同超导qubits的C值远远大于不同超导qubits的C值，也就是说，在低温的时候选择相同的超导qubits对，可以极大的提高系统的纠缠性能。

两超导qubits是相同时，且Josephson能越小但不为零时，纠缠效果越好，纠缠度越大，因此对于我们讨论的这个系统模型，如果选择相同的超导qubits对，并且Josephson能选择的比较小时，我们可以得到最好纠缠特性的系统。

在固定的低温下，两超导qubits的Josephson能越小越接近时，其纠缠可以被极大的提高，因此，对制作相同超导qubits有利于提高系统纠缠特性，并且实验数据和理论数据做对比，结果吻合的非常好。

对于实验上可操作的耦合固定电容的两超导qubit系统，我们研究和分析了此系统的热纠缠随着重要物理参量的演化，结果显示了我们的理论研究结果和实验的测量结果吻合的非常好，并且论证了在低温、相同超导qubits时，系统的纠缠性最好。

因此利用我们结果中具有高纠缠度的数值去调节实验参量(电容和LC电路等)，就会获得比较理想的纠缠，作为一种非常好的可控装置，展现了非常广泛的应用前景。

笔者观点

笔者认为，可控模型中研究量子纠缠对于深入理解量子力学的基本原理以及开发量子技术具有重要意义，不仅可以利用理论数据去指导实验操作，调节相应的实验数据，而且还可以提高和控制系统的纠缠，在量子通信和物理实验中得到应用。

随着科技的发展，这个可控装置的研究是一个非常有前景的方向，通过深入研究量子纠缠，我们可以更好地理解量子力学的基本原理，推动量子技术的发展，并为实现量子计算和通信的应用提供很大的帮助。

参考文献

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