0.9的循环为什么等于1

要理解这个问题，我们先从数轴出发。

在我们眼里，数轴是一根再普通不过的横线，这根横线是连续的。

但真是这样吗？

数轴是由点构成的，每一个点对应一个数字。那我们仔细想一下，数字和数字无缝隙地连在一起意味着什么呢？我们肯定说不清。

这里只考虑有理数的情形。

我们知道，有理数都可以用m/n来表示，那么，两个不同的有理数之间就必然存在差值，也就是间隙，无论这个间隙多小，它一定存在。

那么，基于上述分析，数轴就不是连续的，而是点与点之间有间隔的：

图1

虽然这个间隔可以任意小，但间隔终归存在。

正是基于上述思想，数学家们定义了无穷小的概念：

无穷小比0大，但又比任何一个数字都小，也就是说，无穷小虽然比0大，但又无法用任何一个数字表示。

无穷小定义的要害就在于以无限对付无限：数轴上两个相邻的点可以靠近，但Δx也可以变得无限小。

首先明确数学上的点确实没有大小，因为数学理论认为，任意相邻的两个点之间，肯定存在无穷多个其它的点。如果点有大小，这个理论肯定不成立，因为只要有大小，总有塞不下的时候。

正是由于点没有大小，而点与点之间又肯定存在间隔，同时考虑到数学上无穷小比0大，但又比任何一个确定的数字都小的定义，所以我们可以这样假设：

图2

即数轴上每一个点的后面都拖着一个无穷小的尾巴。这样的假设与数学理论不存在矛盾：因为数轴上任意两个点之间的间隔都对应一个确定的数字，而这个无穷小的长度比任意两个相邻点之间的间隔都小。注意上图中的无穷小没有和它右边的点连在一起，以表示Δx比任何一个确定的数字都小的意思。数轴上相邻的两个点可以无限趋近，但无论怎么接近，Δx永远比这两个相邻点之间的间隔要小，但Δx不是一个没有大小的点。这里的Δx就是极限，它可以无限趋近于0，但却永远不会等于0。

我们假设图2中第一个点是1，第二个点是0.9的循环，0.9的循环向左无限向1靠近，当进入点1的Δx区域以后，两个数字间的区别就无法用任何一个数字表示出来，或者说，两个数字间已经无法再放进任何一个数字，这个时候我们就只能认为这两个数字相等。