我们都知道以下两个结论:
①0的任何正数次幂都等于0:0^x=0,x 0
②任何非0实数的0次幂都等于1:x^0=1,x 0
今天我们来讨论一个争论已久的问题,0的0次幂到底等于多少?
0^0=?
从表面上来看,如果0^0=0,就会与x^0=1矛盾;如果0^0=1,就会与0^x=0矛盾。看上去无论将0^0定义成0还是1,都不是很恰当。
于是有人提出0^0就和分母为0一样,是无意义的。理由如下:
0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0
此时会出现分母为0,所以0^0无意义。
看上去似乎有些道理,但这样的解释显然不能让人信服,我们完全可以类似地来理解0^1。
0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0
按照之前的解释,同样会出现分母为0,那么0^1也是无意义的,这与我们公认的0^1=0显然是矛盾的。
我们必须转换思路。我们很容易想到利用极限来理解这个问题,0^0可以看作函数f(x)=x^x,当x趋于0+的极限值。我们先用计算器来算一下:
0.1^0.1=0.794……
0.01^0.01=0.954……
0.001^0.001=0.993……
0.0001^0.0001=0.999……
…………
可以明显感觉到,当x 0+时,x^x 1。其实这个结论是可以严格证明的。
求证:lim(x^x)=1,x 0+
证明:
lim[ln(x^x)]=lim[x ln(x)]=lim[ln(x)/(1/x)],x 0+
当x 0+时,ln(x) - ,1/x +
此极限为"- /+ "型的未定式,根据洛必达法则
lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]=lim[ln′(x)/(1/x)′],x 0+
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x),x 0+
=-0=0=ln1,x 0+
lim[ln(x^x)]=ln1=0,x 0+
lim(x^x)=1,x 0+
证毕!
到这里,问题似乎得到了圆满的解决,0^0=1,而且计算器也是这样显示的。
我们再深入来思考一下这个问题,如果0^0=1,那么对于0^x:
①当x 0时,0^x=0;
②当x=0时,0^x=1;
③当x 0时,-x 0,0^x=0^[-(-x)]=1/0^(-x)=1/0=
这一切看上去非常丝滑,就连欧拉也认可其合理性,欧拉称这个变化为一次巨大的跳跃。
但另一位大神柯西却不认同这种观点,柯西认为如果你能够构造极限lim(x^x)=1,x 0+,来说明0^0=1。那么,我同样可以构造另一个极限:lim[e^(-1/x^2)]^x,x 0+
首先,当x 0+时,
e^(-1/x^2) e^(-1/0) e^(- ) 1/e^(+ ) 1/(+ ) 0
这个极限仍然是“0^0”型,接下来我们来求一下这个极限值:
求极限:lim[e^(-1/x^2)]^x,x 0+
解:
ln{[e^(-1/x^2)]^x}=x ln[e^(-1/x^2)]=x (-1/x^2) ln(e)=(-1/x) 1=-1/x
lim
lim[ln(0+)]=-
lim
lim[e^(-1/x^2)]^x=0,x 0+
我们求得了,对于以上“0^0”型求极限,极限值为0。也就是说,0^0=0。
类似地,我们还可以再构造极限:lim[e^(-1/x^2)]^(-x),x 0+。显然,这个极限仍然是“0^0”型。
求极限:lim[e^(-1/x^2)]^(-x),x 0+
解:前面我们已经证明了
lim[e^(-1/x^2)]^x=0,x 0+
lim[e^(-1/x^2)]^(-x)=lim{1/[e^(-1/x^2)]^x}=1/0= ,x 0+
lim[e^(-1/x^2)]^(-x)= ,x 0+
我们又求得了,对于以上“0^0”型求极限,极限为 。也就是说,0^0= 。
同样是“0^0”型求极限,我们得出了3个不同的极限值,分别是1,0和 。这时,人们才意识到“0^0”型是一个未定式,其极限值具体是多少要分情况来看。
所谓未定式是指,极限值不确定的形式。未定式的极限值有可能存在,也有可能不存在;如果未定式的极限值存在,也有可能不唯一。
未定式一共有7种类型,分别为:
- 型、0 型、 / 型、0/0型、1^ 型、 ^0型以及0^0型。
到这里,我们终于可以回答这个问题了,0^0到底等于几,要分具体情况来看。不同的情况下,对应不同的取值。0^0有可能等于1,也有可能等于0或其他值,还有可能是不存在的。
页面更新:2024-03-02
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