氦元素在宇宙中是什么形态呢？气体，液体，固体？或是高能粒子？

文 |小新论视界

编辑 |小新论视界

« —【前言】— »

氦只有两个电子，但这种简单性是具有欺骗性的。处理有两个粒子的系统需要新的概念，这些概念也适用于许多物理分支中的多粒子系统，用氦的例子来仔细研究它们是非常值得的。

« —【氦的基态】— »

一个电荷的库仑势中的两个电子，例如原子核，符合该形式的薛定谔方程。

这里r12 = |r1 r2|是电子1和电子2之间的距离，电子的静电斥力与1/r12成正比。暂时忽略这种相互排斥，我们可以把这个方程写成：

h2和电子2的表达式相似，将原子波函数写成每个电子的波函数的乘积，ψ = ψ (1)ψ (2)，允许我们将它分成两个单电子薛定谔方程：

以及能量为ψ (2)的类似于E2的方程。这些单电子方程的解是由里德伯公式给出的含氢波函数，氦有Z = 2，在其基态下，两个电子都有能量E1 = E2 = 4hcR = 54.4eV，因此，原子的总能量（忽略斥力）为：

现在我们需要计算由电子-电子斥力产生的扰动，该系统具有空间波函数。

将其加到（0阶）估计值E (0)中，得到的能量为E（1s2）= 109+34= 75eV。

从一个氦原子中去除两个电子，留下一个裸露的氦原子核He++——第二个电离能。从He+到He++需要54.4 eV，因此这个估计表明，第一个电离能（需要从He中去除一个电子才能产生He+）是IE（He）约等于75 54约等于21 eV。

但如图的期望值与结合能相比并不小，因此扰动对波函数有显著影响，对波函数的必要调整可以用变分方法来解释。

这是一种标准的量子力学技术，这种技术的基本原理是找到一个表达式的能量的参数——一个有效的原子序数在氦的情况下，然后最小化的能量对这个参数，即研究能量的变化作为一个选择参数的函数。

该方法给出的值接近于测量的电离能24.6 eV。由于氦的n = 1壳层封闭，因此氦在所有元素中具有最高的第一电离能。

根据泡利不相容原理，两个电子不能有相同的量子数集。因此，在氦的基态中，必须与两个1s电子有一些额外的量子数，这是它们的自旋。

在元素周期表中观察到的原子（子）壳层的填充现象意味着有两个自旋态与每一组空间量子数n，l，ml相关联。然而，静电能并不依赖于自旋，我们可以单独找到空间波函数和寻找自旋本征函数的问题。

人们常说“一个电子处于自旋向上状态，另一个电子处于自旋向下状态”；这真正的意思是在氦激发态的自旋讨论中定义的。

« —【氦激发态】— »

为了找到激发态的能量，我们使用了与基态相同的程序——首先，我们忽略了相互斥力项，并将前述方程分成两个有解的单电子方程。

对于配置1snl。原子波函数的空间部分是乘积。

而另一个波函数也有相同的能量。

这两种状态由电子上的标签的排列有关，1 2；能量不能依赖于相同粒子的标记，因此存在交换简并度。

为了考虑排斥项对这对具有相同能量（简并态）的波函数的影响，我们需要简并微扰理论。有两种方法，先跳先看的方法是首先从初始态的线性组合中形成扰动的特征态。

这是通过寻找对称算子的特征态来指导的，它们与哈密顿量交换以进行相互作用。

在这个新的基础上，态的本征能的确定是简单的。然而，坚持一下代数一次是有指导意义的。

我们将薛定谔方程改写为：

其中H0 = H1 + H2，我们认为电子H=e2/4π0 r12的相互斥力为扰动。

其中E (0) = E1 + E2为未扰动能量。从上图方程中做个减法，得到了由扰动产生的能量变化， E=E E (0)，为：

能量为E (0)的波函数的一般表达式是上述表达式的线性组合，其任意常数为a和b。

替换一下，然后积分每个电子的空间坐标（r1，θ1，φ1，r2，θ2，φ2）给出了两个耦合方程。

直接积分是：

其中ρ1s (1) = e|u1s(1)|2是电子1的电荷密度分布，ρnl (2)的也是如此。这个直接积分表示了这些电荷云的库仑斥力。交换积分是：

与直接积分不同，它对电荷（或概率）分布没有一个简单的经典解释——交换积分依赖于振幅的干扰。1s波函数的球面对称性使积分易于计算。

这个行列式方程的根是 E=J K。直接积分将两个能级移到一起在一起，但交换积分导致2K的能量分裂。

替换回之前得到两个特征向量，其中b = a和b= a，这些对应于对称(S)和反对称(A)波函数为：

波函数ψA空间的本征能量为E (0) + J K，且低于ψS空间的能量E (0) + J + K。（对于氦K中的1snl配置是正的。）

通过替换到原始方程中，很容易检查哪个波函数对应于哪个特征值。

这通常被解释为9个电子相互“避免”，即r1 = r2的ψA空间=0，对于这个波函数，在电子2附近找到电子1的概率很小，两个电子的这种反相关性使得电子之间的库仑斥力的预期小于ψS空间。

对称和反对称波函数的出现有一个经典的模拟物，两个谐振频率相同的振荡器系统相互作用（例如它具们通过弹簧连接在一起）有反对称和对称法态模。

交换积分随着n和l的增加而减小，这是由于激发电子和波函数之间的重叠减少。

经典系统中简并扰动的一个说明。

两个具有相同振荡频率ω0的谐振子——每个弹簧的一端都有一个质量，而另一端则附着在一个刚性支撑体上。

一种相互作用，在这里由另一个连接质量的弹簧表示，耦合了两个质量的运动。系统的正常模态如下。

在ω0的同相振荡，其中质量之间的弹簧不改变长度，在更高频率的失相振荡。

这些趋势是波函数形式的一个明显结果：被激发电子的平均轨道半径随能量的增加而增加，因此随n的增加而增加；随l的变化是因为角动量（离心势垒）导致被激发电子的波函数在小r时很小。

然而，在上述处理中，直接积分并不随着n和l的增加而趋于零，如下面的物理论证所示。被激发电子“看到”+2e的核电荷被1s电子电荷分布包围，即在远离nl电子波函数具有显著值的区域，它经历电荷+1e的库仑势。

因此，被激发电子的能量与氢原子中的电子相似。

但是我们从假设1s-电子和nl-电子都有一个由Z = 2的里德伯格公式给出的能量开始。直接积分J等于这些能量之间的差值。

这项工作是波力学的早期胜利对r1、θ1和φ1的积分导致排斥库仑势 /4π0 r2，当r2大于r1的值时，它抵消了核的部分吸引势，因为以前还不可能计算出氦的结构。

我们通过直接计算找到了氦中的波函数和能级，但回顾过去，我们可以看到如何利用对称性参数来预测答案。

静电斥力的哈密顿量，与1/r12 1/|r1 r2|成正比，与交换粒子标签1和2的算符进行交换，即交换操作1 2，（虽然我们不会给这个运算符一个符号，但很明显，它会保持1/r12的值不变。）交换运算符具有同时存在的特征函数。

这促使我们构造对称波函数ψA空间和ψS空间。.在这个方面。在本征态的基础上，计算静电斥力的影响很简单。

« —【自旋特征态】— »

两个电子之间的静电斥力导致了氦原子激发态下的波函数，分别为ψS空间和ψA空间。

基态是两种特殊情况，两个电子具有相同的空间波函数，因此只存在对称解，我们没有考虑自旋，因为静电相互作用取决于粒子的电荷，而不是它们的自旋。

H0和H都不包含任何关于电子自旋的参考。

然而，自旋确实对原子波函数有深远的影响，这是由于自旋和不可区分粒子的波函数的对称性之间的深层联系造成的。

不可区分意味着粒子是相同的，并且有交换位置的自由，例如气体中的原子服从费米-狄拉克或玻色-爱因斯坦统计，这取决于它们的自旋。

相比之下，固体中的原子可以被视为可区分的，即使它们是相同的，因为它们有固定的位置——我们可以标记原子1，2，等等，而且以后还能知道哪个是哪个。

注意，这里我们考虑的是系统中包括空间部分和自旋的系统中的总波函数。费米子的波函数与粒子标记交换是反对称的波函数，玻色子具有对称的波函数。

由于这种对称性，费米子和玻色子以不同的方式填充了一个系统的能级，即它们服从不同的量子统计量。

电子是费米子，所以原子的总波函数相对于电子标签的排列是反对称的。

我们所构造的这些反对称波函数满足了对不可区分粒子的交换具有特殊对称性的要求。

现在我们将明确地找到自旋本征函数。我们使用速记符号，其中 和 分别代表ms = 1/2和 1/2。两个电子有四种可能的组合：三个对称函数。

对应于S = 1和MS = +1,0， 1；和一个反对称函数。

对应于S=0（使用MS = 0）。

这些关于增加两个s = 1/2角动量的结果的陈述可以用正式的角动量理论来证明。

简化处理描述S = 0有一个电子“自旋向上”，另一个电子“自旋向下”；但两种MS = 0状态都是|ms1 = +1/2，ms2 = 1/2和|ms1 = 1/2，ms2=+1/2，状态的线性组合。

光谱学家用符号2S+1L标记静电相互作用的本征态，其中S为总自旋，L为总轨道角动量量子数。

氦L = l中的1snl构型，所以允许的项是1L和3L，例如，氦中的1s2s构型产生了项1S和3S，其中S代表L = 0。

« —【总结】— »

综上所述，我们对氦进行了两个不同阶段的结构。

1. 能量简并微扰理论给出了能量分裂乘以交换积分的空间波函数ψS空间和ψA空间。在氦中，简并度的产生是因为这两个电子是相同的粒子，因此存在交换简并度，但对于偶然产生简并度的系统，处理方法是相似的。
2. 我们通过构造对称波函数来确定与每个能级相关的自旋，空间函数和自旋本征态的乘积给出了对于粒子-标签交换必须是反对称的总原子波函数。

交换简并度、交换积分、简并微扰理论和对称波函数都发生在氦中，它们之间的相互关系并不简单，因此普遍存在误解。

一个常见的误解是推断，由于具有不同总自旋的能级，S = 0和1，有不同的能量，那么就存在一个独立的相互作用——这是不正确的，但有时在凝聚态物理中，假装它是有用的。

决定氦总体结构的相互作用完全是静电引起的，只取决于粒子的电荷和位置。

此外，简并微扰理论有时也被认为是一种神秘的量子现象，当两个能量相似的经典系统相互作用，例如两个耦合振子时，会出现对称和反对称正态模。

参考文献：

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