在粒子物理标准模型中,中微子仅具有左手性,所以不能像其他轻子一样,通过希格斯机制来产生质量项.

反应堆实验、加速器实验、太阳实验、大气实验观测到的中微子振荡行为表明,在中微子的三个质量本征态中至少有两个是有质量的,所以中微子质量的存在要求有超越粒子物理标准模型的新机制.

然而现在还没有可以单独测量单个中微子质量的方法和探针,最方便的方法是通过最轻的质量mν0和中微子质量本征态的平方差将三个中微子质量进行参数化,其中中微子振荡实验可以测量出两个中微子质量本征态之间的平方差。

如太阳实验可给出 m21而大气实验可给出| m31|,因为| m31|的符号不能确定,所以这里有两种质量顺序的可能,正序(Normal Hierarchy,NH)和反序(Inverted Hierarchy,IH),在正序的情况下m1

这里1,2,3代表νe,νµ,ντ在质量本征态的最大分量. m23ℓ代表中微子最轻的质量和最重的质量之间的质量平方差,其中ℓ=1代表正序,ℓ=2代表反序.所以对于正序的情况,三代中微子质量总和为

相应地,对于反序的情况,三代中微子的质量总和为

从Nufit5.1得到目前最新的中微子质量平方差 mi2j mi2-mj2的值:

其中,当最轻的中微子质量本征态mν0=0时,由公式(1)–(4)得到两种情况下中微子质量总和Σmν的下限,ΣmNHν>0.059 eV,ΣmIHν>0.099 eV.

虽然现在中微子振荡实验在统计上略微倾向于正序的中微子质量排序,但是中微子振荡实验还不足以打破两种质量顺序之间的简并.

从宇宙学角度看,中微子质量总和可以通过宇宙学实验数据来给出限制,因为质量在e V量级的中微子占了当前宇宙中热暗物质的很大一部分,它们在宇宙学观测中留下了清晰的遗迹.暗能量的状态方程、宇宙的曲率、相对论自由度、宇宙的膨胀历史、宇宙结构的增长和宇宙微波背景辐射等宏观尺度的宇宙学现象都与中微子总质量存在一定的关联性。

如中微子总质量决定了中微子变得非相对论时的红移.相对于中微子质量的直接测量,宇宙学方法在限制中微子质量时需要基于一个宇宙学模型,通常是ΛCDM模型.

由于不同数据集的使用,以及剩余宇宙学模型的不同假设,中微子质量限制会在一个范围内波动,目前宇宙学限制的中微子质量正在慢慢接近反序的最小质量下限,故宇宙学数据有可能帮助我们更好地了解中微子质量的顺序.

2 宇宙学和粒子物理实验数据

本工作中用到的贝叶斯统计分析采用的是公开的爱因斯坦-玻尔兹曼代码CAMB和与它对应的蒙特卡罗-马尔可夫链宇宙学程序包Cosmo MC,可以从http://cosmologist.info/cosmomc/获得.

本工作中使用的中微子振荡实验室数据来自Nufit5.1,它的最新拟合结果可以在网站http://www.nu-fit.org获得.本文中使用了最新可获得的宇宙学观测数据,介绍如下.

Planck宇宙微波背景(CMB)温度和极化功率谱来自Planck的2018年最终版plik TTTEEE+lowl+low E.中微子质量的一些关键效应会影响CMB探针,如中微子和哈勃常数之间有很强的简并.而再电离的光深τ是和标量原初扰动的振幅As有简并的,因为宇宙结构成团性的强度和中微子质量Σmν有联系,导致τ和Σmν之间也存在一定的简并,因此CMB的极化测量对中微子质量有较强的限制.

CMB lensing物质的扰动通过引力透镜效应可以导致CMB光子极化平面的偏转,这将在CMB温度和极化的各向异性功率谱上留下痕迹,并且产生一个CMB透镜的信号Cℓϕϕ.通过宇宙微波背景(CMB)的数据分析获得宇宙微波背景透镜信号(CMB lensing)的功率谱重建数据,其红移范围在0

SN Ia采用目前最新的Pantheon样本中的1048个Ia型超新星的数据点,其红移范围是0.01

从超新星爆炸测量得出的光度距离DL(z)对中微子性质不是非常敏感,但是它可以被用来约束暗物质和暗能量参数,即暗物质能量密度Ωm,暗能量密度ΩΛ,和暗能量状态方程参数ω,显著地打破它们和中微子质量之间的简并性.

BAO在CMB退耦之前,重子和光子耦合在一起,在再复合时期,CMB光子和重子退耦,于是重子-光子流的振荡被冻结在CMB的各向异性中.

除了对于CMB有影响,BAO在宇宙的大尺度结构中的横向和视线方向也都留下了显著的结构,沿着视线方向,BAO给出了红移独立测量的哈勃常数H(z),垂直于视线方向,BAO数据可以转换成测量角直径距离,这时的角直径距离是宇宙膨胀速率H(z)的积分.

因为BAO的尺度是已知的,所以BAO可以被当作标准尺来推断H(z)rs(z*)和DA/rs(z*),这里的DA是角直径距离,rs(z*)是在退耦红移z*的声学视界.这些量都对物质的能量密度Ωmh2很敏感.BAO的测量可以限制大质量中微子对于物质能量密度的贡献,其特征已经由星系团和低红移类星体等测得.

这里采用的BAO数据来自6DF和斯隆数字巡天计划(SDSS)第7次发布的主星系样本(MGS)和SDSS第12次发布(DR12)的重子振荡光谱巡天计划.

在分析中我们还添加了e BOSS DR14的样本对于宇宙学的限制,e BOSS的研究开始于2014年,运营周期为5年,这次光谱研究的目标为亮红星系(LRGs)、发射线星系(ELGs)和类星体(QSOs),这些观测的宇宙学解释可在参考文献中找到,其红移范围在0.106

不同的宇宙学数据侧重的红移有所不同,根据文献中使用不同数据组合对于中微子质量的限制结果,可以看出,在宇宙学观测精度允许的范围内,使用更多的实验数据会对中微子质量给出强的限制结果,因此在本工作中我们选取尽可能多的不同红移处的观测数据,来对中微子质量进行拟合.

当然由于不同的宇宙学观测中可能存在不同的系统误差,而与观测相关的宇宙学模型参数之间也可能存在简并性,因此使用过多的宇宙学观测数据也可能会导致限制结果反而不太好.

Nufit5.1提供了在标准模型框架内和三个有质量中微子的基础上,以及一些其他扩展的中微子振荡实验的最新拟合结果,通过全球分析给出了轻子混合矩阵和中微子质量.

它使用的中微子振荡实验的数据涵盖了几乎全球所有类型的中微子振荡实验的数据,其中包括太阳实验(Homestake chlorine,Gallex/GNO,SAGE,SNO,Super-Kamiokande,Borexino、大气实验(Ice Cube/Deep Core,Super-Kamiokande)。

反应堆实验(Kam LAND,Double Chooz,Daya Bay,Reno)以及加速器实验(MINOST2K,NOνA)等,其拟合结果使用的数据分为不包含超级神冈合作(Super-Kamiokande Collaboration)和包括超级神冈合作两大类,考虑到超级神冈是目前世界上最大的地下中微子探测器,本工作中使用的数据为包括超级神冈合作的数据.另外一些中微子振荡参数(如混合角θi j和CP相位δCP)与本文的研究无直接关联,这里不再将它们考虑进来.

3 计算结果与分析

3.1 常数的中微子质量

首先考虑中微子质量为常数的情况.在最小的ΛCDM模型的6个参数(Ωb,Ωcdm,ln 1010As,ns,h,τreio):冷暗物质密度Ωcdmh2、重子密度Ωbh2、标量光谱指数ns、原初扰动振幅As,在电离光深τreio框架内(先验分布见表1),使用各类宇宙学实验结果和来自Nufit5.1的最新实验室全球拟合数据对中微子质量参数进行拟合.

在Nufit5.1的拟合结果中, m23ℓ为三代中微子的质量本征态中最大质量与最小质量之间的差值,即当正序时ℓ=1,而当反序时ℓ=2.

考虑到本工作使用Cosmo MC程序中理论计算部分CAMB仅支持| m231|,所以对于质量模型为反序的情况,我们通过Nufit5.1给出的 m221和 m232的实验结果,反推得到在反序时 m231的中心值: m231=-2.416 10-3e V2.结合公式(3)和(4)的结果,可以得到当取最新实验室全球拟合数据的中心值时,采用正序和反序两种方式来拟合中微子质量总和,得到的95%置信区间的限制结果分别是

表1 宇宙学模型参数选取的先验分布

Table 1 Flat priors of cosmological parameters selected in this work

这一结果和目前文献[4]中的其他工作结果类似,该文中的宇宙学数据相较于本文,增加了大爆炸核合成(BBN)的数据,BBN的数据有助于限制Neff,然而文献[5]已经证明增加BBN的数据对于中微子质量参数的限制结果没有显著的影响,另外文献[5]中使用的实验室数据是旧版的Nufit4.1.

在此结果的基础上,可以通过公式(1)和(2)反解出正序与反序时的三个中微子质量分别为多少.正序时最轻的中微子质量的95%置信区间上限为

相应地,其余两个中微子质量95%置信区间上限为:m2<0.036 e V,m3<0.061 e V.同样地,对于反序的情况,三个中微子质量95%置信区间的上限分别为:mν0(m3)<0.046 e V,m1<0.067 e V,m2<0.068 e V.

其中我们对于最轻中微子质量mν0的限制结果,相较于同类型文献给出的95%置信区间上限结果mν0<0.037 e V (NH),mν0<0.042 e V (IH)是基本相同的,而对比文献给出的正序和反序两种质量模型所得到的结果mν0<0.086 e V。

我们的计算结果有了显著的提升,文献相较于本文假设了更多不同质量模型对于中微子质量的影响,如考虑大质量中微子的个数Nν,结果显示,中微子模型的选择会略微影响中微子质量总和的上限.此外,在实验室数据选择上,该文没有使用最新的Nufit5.1的数据.

在CAMB程序的计算过程中,两个中微子质量平方差 m221和 m231的取值固定在实验室数据给出的最佳中心值,但是实际上实验室数据给的结果(公式(3)和(4))同样存在一定的误差.为了简单分析一下该误差是否会对中微子质量限制产生明显影响,我们简单选取 m221和 m231限制结果的3σ范围内的最小值与最大值分别进行分析.

其中 m221的3σ范围内的最小值与最大值分别为: m221=6.82 10-5e V2, m221=8.04 10-5e V2,而在正序时 m231的3σ范围内的最小值与最大值分别为: m231=2.430 10-3e V2, m231=2.593 10-3e V2.对于反序时 m231的取值,采用之前反推法可得其3σ范围内的最小值和最大值分别为 m231=-2.506 10-3e V2, m231=-2.329 10-3e V2.

因此,将这些3σ最大值和最小值分别放入CAMB中,利用宇宙学实验数据限制中微子总质量,得到的结果显示,不管是正序还是反序,最终给出的三代中微子总质量的95%置信区间上限的变化是很小的,如图1所示,这说明目前中微子振荡实验的测量误差精度远远高于宇宙学实验的观测数据.