关系代数是关系数据库的理论基础之一，通过严谨的数学理论定义了从表中按需提取数据的方法，严谨的数学理论基础是关系数据库经久不衰的重要原因。在软件领域，很多技术都是根据需求、人的思维习惯开发的，如面向对象编程技术、内存数据库技术等，关系数据库是少有的几个有严密数理基础的技术之一；这种情况的好处是，不同类型的关系数据库的交互方式基本相同，程序员在不同数据库间切换工作的成本极低。

SQL实现关系代数运算，并在关系代数基础上进行了扩展，以编程语言的形式提供运算能力，隐藏了关系代数的计算逻辑。事实上，略过关系代数的学习，直接上手学习SQL，一点问题都没有。如果学习关系代数时，觉得存在难度，你完全可以先学习SQL，回过头来重新学习关系代数，也许那时你会觉得非常简单。

1、关系代数解决的问题

所有关系代数运算的目标就是从若干张表中计算出一张新的表。这张新表又可以参与到新的关系代数运算中，形成复合表达式。

关系代数的计算

2、关系代数运算种类和计算规则（会算）

关系代数运算脱胎于集合运算，也就是把表中的每行数据看作集合中的一个元素，表就是一个集合。那么其“并”、“交”、“差”运算和集合运算中的运算方法完全相同，上图即为两张表的“并”运算，这里不再赘述。

当然集合运算把行作为元素，只能把行作为整体看待，涉及行内若干属性的运算无法支持，因此，需要定义专门的关系代数运算方法。

• 投影运算：去掉表中多余的列，给表横向瘦身

投影运算时，会把重复的行去掉。

投影运算

• 选择运算：去掉表中不符合条件的行，给表横向瘦身

选择运算就是按条件对数据进行筛选。

选择运算

• 广义笛卡尔积和连接运算：把多张表进行横向拼接，丰富单行数据的表达能力

前一篇文章中，介绍了外码的概念，即在一张表中我们用外码来表达另一张表的完整数据。如果我们在提取学生信息时，因为学生表中只有外码（班级号），我们无法直接获得班级信息，如果希望在提取学生信息的同时，能提取到班级数据，我们就需要从班级表中提取数据，并根据班级号拼接到学生信息中。

这种情况下，我们就需要关系代数具备表和表之间的横向拼接能力。不考虑任何业务逻辑的情况下，横向拼接的算法就是“广义笛卡尔积”，也就是两张表中任取一行，拼接成一个新行，这些所有可能的新行就组成了一张新表，它就是广义笛卡尔积的结果。

广义笛卡尔积

通常情况下广义笛卡达尔的结果没有实际意义，它只提供了横向拼接的方法。我们通常需要对它的计算结果进行筛选（也就是再进行选择运算），留下符合实际业务的行。这种先笛卡尔积，再进行选择运算的复合算法就是关系代数中的连接运算。

连接运算

上图为一个典型的等值连接运算，其中A列重复了，所谓的自然连接就是把重复的列去掉，如下图所示。

自然连接

• 除法运算：广义笛卡尔积的逆运算
  关系代数的除法运算其实和小学数学中的整除运算概念类似，也是表达两个对象之间的包含关系。整除运算解决的是一个被除数中包含多少个除数，而关系代数的除法解决的是一个表（被除的表）分成多个组后，哪些组包含了另一个表的数据。

除法运算

上图中，被除的表R中，A列是S表中没有的列，那么根据A列的取值，我们可以把R表拆分成四张表。这四张表中，当A=a1时，B、C列包含了S表的B、C列，所以A=a1在结果集中，而当A=a2、A=a3、A=a4等三张表的B、C列无法覆盖S表的B、C列，所以它们不在结果集中。

3、如何通过关系代数表达语义（会写表达式）

初学者首先要学会如何计算上述的8种运算，在此基础上，可以尝试写关系代数表达式，即根据语义写出一个查询数据的表达式，这和根据需求写出一个SQL语句其实是一回事，都是如何利用表的概念和定义的表达式写出简单的算法。

例如，有关系模式如下：

S(SNO,Sname,Status,City)：供应商

P(pNo,pName,color,weight)：零件

J(jNo,jName,City)：工程

SPJ(Sno,pNo,jNo,Qty)：供应关系

• 求供应工程J1零件的供应商号码

提示：先对SPJ表根据jNO执行选择运算，再进行投影运算。

• 求供应工程J1零件P1的供应商号码

提示：先对SPJ表根据jNO和pNo执行选择运算，再进行投影运算。

• 求供应工程J1零件为红色的供应商号码

提示：先将SPJ表和P表进行自然连接，再根据jNo和color执行选择运算，最后进行投影运算。

• 求没有使用天津供应商生产的红色零件的工程号码

提示：所有工程的工程号 - 使用了天津供应商生产的红色零件的工程号码。

• 求至少使用了供应商S1所供应的全部零件的工程号

提示：先求出S1供应的全部零件的零件号得到A表；然后对SPJ表进行投影，留下sno和jno得到B表；最后，B A即可。