使用ΛCDM模型计算宇宙年龄

ΛCDM模型是Λ-冷暗物质模型的简称，它通常被认为是宇宙学的标准模型。当然，它并不是唯一的模型，但它已被证明在解释宇宙微波背景的存在方面相当成功，这是宇宙学中最重要的发现之一。此外，该模型相当好地解释了星系的大规模分布和宇宙中观察到的轻元素数量。最后，宇宙正在加速膨胀也可以纳入该模型中。今天，我们将使用ΛCDM模型和普朗克卫星的最新数据计算宇宙的年龄。

首先，我们需要花一点时间来解释一些术语。如果你看过我之前关于弗里曼方程的文章，你会知道参数a是个比例因子，它与空间的膨胀或收缩有关。借助一点广义相对论，我们可以计算出这个参数与红移Z的关系：

其中a₀是今天的比例因子，它等于1。我们知道，哈勃常数是星系退行速度与距离的比值，但在这里，我们将使用的是根据比例因子定义的哈勃常数：

当我们对时间进行积分时，我们就得到了宇宙年龄的公式：

现在，计算宇宙年龄的关键就在于哈勃常数，我们可以通过一系列操作把它变成是a的函数。通过考虑弗里曼方程，我们可以将哈勃常数写成如下红移的形式：

其中H_0是哈勃常数的当前值，而红移项前的Ω为不同的密度项：首先是下标为r的辐射密度，其次是下标为m的物质密度，再来是下标为k的曲率项，最后是下标为Λ的暗能量密度。

在ΛCDM模型中，曲率是平坦的，所以我们将Ω_k设置为零。正如我们所看到的，辐射密度项在今天的宇宙中也是微不足道的，所以我们也让Ω_k等于零。因此，最终的哈勃常数将只剩下一个更简单的方程：

并且我们注意到了比例因子a与红移的关系（第一个方程），于是哈勃常数变成了如下公式：

于是，宇宙年龄的积分方程就变成了如下形式：

我们可以看到，这个积分是相当复杂的，这时候有一个数学系的朋友就显得很重要。通过询问他，我们可以知道这个积分的解如下：

接下来，我们只需要把数值带进去就可以求出宇宙的年龄了。要设置当前的宇宙年龄，我们必须要将红移值Z设置为0。此外，根据2018年普朗克卫星数据，我们可以知道当前的哈勃常数H_0=67.5(km/s)/Mpc，暗能量密度Ω_Λ=0.685，物质密度Ω_m=0.315。把这些值代入公式，我们就可以得到宇宙的年龄为137.8亿年。