本轮均轮上的匀速圆周运动与开普勒三定律真的等效吗？

用本轮均轮系统描述的地心说宇宙

最近看到了下面这个问题：

任何椭圆都可以用均轮和本轮构成么？ - 知乎

曾经也非常自信的认为，用本轮均轮描述行星运动就是对行星运动做了傅里叶级数变换，只要轮子够多，一定可以精确拟合出行星运动的轨迹，古人只是因为计算繁杂，用的轮子还不够导致被开普勒三大定律取代。

然而经过仔细思考，发现上面的想法是存在缺陷的，今天就来仔细探讨一下：

1. 椭圆到底需要多少个圆周运动才能组合出来，这种组合是唯一的吗？
2. 符合开普勒第二定律的椭圆运动，可以用匀速圆周运动组合出来吗？

1. 椭圆到底需要多少个圆周运动才能组合出来，这种组合是唯一的吗？

我们可以将椭圆轨道视为平面上的闭合曲线，为了简便，不妨将椭圆放在复平面中，则椭圆可以表示为复数为变量的一元函数，复平面上可以用表示圆周运动，为圆周运动的角速度，为从实轴方向开始运动经历的时间。当然也可以将函数的实部和虚部分别写出参数方程，构成普通平面直角坐标系上的图形。

对于任意一个函数来说，其傅里叶级数的展开形式只有一种，以函数为例的话，那就等价于说，椭圆如果要由圆周构成的话，其组合方式应该是惟一的。

两条蓝色向量可以表示黄色和橙色圆周运动

显然对于焦点恒星坐标为0，长轴沿实轴方向的椭圆轨道，可以将函数展开为如下形式：

其中 a 为半长轴长度， b 为半短轴长度， c 为半焦距。

展开式说明椭圆的傅里叶级数仅第-1、0、1三项的系数不为0，其中第0项实际是常数，代表从焦点恒星到椭圆几何中心的位移。第-1项与第1项表示椭圆可以由两个角速度为相反数的圆周运动组成。这里没有用 ωt 而用 φ 表示相位，是为了避免误将 ω 直接视为常数，对于圆周运动是否匀速放到后面探讨。

至此第一个问题已经得到解答，椭圆轨道能且仅能用两个圆周运动组合而成。

2. 符合开普勒第二定律的椭圆运动，可以用匀速圆周运动组合出来吗？

之前我写过一篇文章，介绍了描述符合开普勒第二定律运动位置和时间关系的方程开普勒方程：

非高等数学推导开普勒方程 - 知乎

为了避免混淆离心率和自然底数，现将离心率记为，自然底数仍记为 e ，则椭圆轨道的开普勒方程为：

从前面的图可以看出偏近点角 E 实际上等于圆周运动的相位 φ ，为更直观展示位置与时间的关系，将平近点角 M 重新展开为,T为公转周期，则开普勒方程整理为：

这是一个超越方程， 对于角速度，显然 ω 不可能为常数，也就是说这两个圆周运动不是匀速圆周运动。

至此，第二问题得到解答，符合开普勒第二定律的椭圆运动，不能用匀速圆周运动组合出来。

虽然地心说和日心说仅仅是进行了坐标平移，第谷地心说模型和哥白尼日心说模型抛开细节简单来看数学上完全等价，但只要不能同时解决圆周和匀速这两个问题，那么对行星位置的预报就一定会出现偏差。

历史上自打古希腊阿波罗尼乌斯提出用本轮和均轮描述行星运动以来，很多天文学家都妄图通过增加轮子的数量来通过匀速圆周运动获得更准确的拟合，经过上面的分析，这无疑是一条死胡同。

要想获得更准确的拟合，就势必要放弃匀速的尝试，托勒密尝试将运动的参考位置从圆心移开，来解释速度的变化，哥白尼日心说却为了维护匀速圆周运动，重新把参考位置换回圆心，不得不说哥白尼既是进步的也是倒退的。