有关二分查找
作用：在有序集合中快速查找目标值
适用性：
1. 只能查找有序的数据集
顺序存储的数据结果就是数组了，也就是二分查找只能从数组中查找，而不能查找链式存储的数据集，比如查找链表中的数，就不能用二分查找。
2. 针对的是静态有序数据集
二分查找适合那种不经常变动的数据集合。如果经常插入、删除的数据集，每次插入和删除都要保证集合数据的有序，维护动态数据有序的成本很高。所以二分查找适合从有序的不经常变动的数据集合中查找。适合数据集合已经排好序，但是需要经常查找的场景。
3. 不适合数据量太大或者太小的场景
因为二分查找需要依赖数组这种数据结构，而数组要求连续的内存空间，其需要把所有数据全部读入内存中，因此数据量太大的，对内存要求比较高。如果数据量只有几十个，那么不论是使用二分查找还是顺序遍历，查找效率都差不多。
有关二分查找的边界问题
“思路很简单，细节是魔鬼”
二分的几个常用情景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界
以下是二分查找的基本框架：
1 public int BinarySearch(int[] nums, int target) {
2 int left = 0, right = ...;
3 while(...) {
4 int mid = left + ((right - left) >> 1);
5 if (nums[mid] == target) {
6 ...
7 } else if (nums[mid] < target) {
8 left = ...
9 } else if (nums[mid] > target) {
10 right = ...
11 }
12 }
13 return ...;
14 }分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。
（一） 寻找一个数
1 public int BinarySearch(int[] nums, int target) {
2 int left = 0;
3 int right = nums.length - 1; //【1】
4
5 while(left <= right) { //【2】
6 int mid = left + ((right - left) >> 1);
7 if(nums[mid] == target)
8 return mid;
9 else if (nums[mid] < target)
10 left = mid + 1; //【3】
11 else if (nums[mid] > target)
12 right = mid - 1; //【4】
13 }
14 return -1;
15 }1. while中的循环条件
循环条件由搜索区间的结构确定，当找到目标值后，返回即可；
若没找到则需考虑终止情况。此处的搜索区间的结构是两端闭区间。当left == right时，表示区间[left, right]，此时区间内仍有一个数值未被搜索，若此时结束循环，可能错过对目标值的匹配，因此需要继续查找，则终止条件应当是left > right时，此时搜索区间为空。所以此处while中应当为“<=”。
如果要使用小于号，则在结尾加一句判断即可。
1 return nums[left] == target ? left : -1;2. left与right的加加减减
边界的加减也由搜索区间的结构确定。在[left, right]中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，若mid位置上的值不等于target，则不用再考虑mid。因为边界均可取到，所以搜索区间因改为[left, mid – 1]或[mid + 1, right]
3. 缺点
当数据中重复出现目标元素，则返回的是在重复序列中中间位置的索引，并不能得到其左侧或右侧边界。如{1, 2, 2, 2, 3, 5}，target = 2，此时返回索引为2，但其边界为[1, 3]
（二） 寻找左侧边界
1 public int LeftBound(int[] nums, int target) {
2 if (nums.length == 0) return -1;
3 int left = 0;
4 int right = nums.length; //【1】
5
6 while (left < right) { //【2】
7 int mid = left + ((left + right) >> 1);
8 if (nums[mid] == target) {
9 right = mid; //【3】
10 } else if (nums[mid] < target) {
11 left = mid + 1;
12 } else if (nums[mid] > target) {
13 right = mid; //【4】
14 }
15 }
16 return left;
17 }1. while中的循环条件
同理，此处的搜索区间为左闭右开型，当left == right时，表示区间[left, right)，此时的区间已经为空，故可以终止。
注：这里解释一下为何上面用两端闭区间，而这里用左开后闭区间。因为这样的写法比较普遍，不这么写也可以，后文将会展示三种写法(两端闭，左开右闭，左闭右开)。
2. left与right的加减
因为此处是左闭右开区间，在[left， right)中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，[left, mid)和[mid + 1, right)。为了保证区间结构不变，所以right应变为mid，left应变为mid + 1
3. 有关结尾的返回值
返回值表示目标值在序列中的左侧边界，等价于小于目标值的元素个数。分析可知left的取值范围是[0, nums.Length]，所以当left == nums.Length时，说明没有一个元素小于target，即target在该序列中不存在，返回-1即可。（当然，最终的返回值也可以是right，因为终止条件是left == right）
1 if (left == nums.length) return -1;
2 return nums[left] == target ? left : -1;4. 该算法的核心，即为何可以查找左侧边界
1 if (nums[mid] == target)
2 right = mid;当nums[mid] == target时，因为数据有序，说明mid左侧可能存在target，所以应缩小上界，不断向左收缩。
5. 统一格式，将while循环加入等号
据原理，只需将right初值设为nums.Length – 1；right的变化改为mid – 1即可。
1 public int LeftBound(int[] nums, int target) {
2 int left = 0, right = nums.length - 1;
3 while (left <= right) {
4 int mid = left + (right - left) / 2;
5 if (nums[mid] == target) {
6 right = mid - 1;
7 left = mid + 1;
8 } else if (nums[mid] > target) {
9 right = mid - 1;
10 } else if (nums[mid] < target) {
11 left = mid + 1;
12 }
13 }
14 if (left >= nums.length || nums[left] != target)
15 return -1;
16 return left;
17 }（三） 寻找右边界
1 public int RightBound(int[] nums, int target) {
2 if (nums.length == 0) return -1;
3 int left = 0, right = nums.length;
4 while (left < right) {
5 int mid = left + ((left + right) >> 1);
6 if (nums[mid] == target) {
7 left = mid + 1; //【1】
8 } else if (nums[mid] < target) {
9 left = mid + 1;
10 } else if (nums[mid] > target) {
11 right = mid;
12 }
13 }
14 return left - 1; //【2】
15 }1. left与right的加减
因为此处是左闭右开区间，在[left， right)中mid被检测后，需要据mid将其划分为两个区间，[left, mid)和[mid + 1, right) 。为了保证区间结构不变，所以right应变为mid，left应变为mid + 1
2. 有关最后返回值
因为对left的更新为mid + 1，结束时会产生以下结果：
[注：上图来源于搜索引擎查找结果】
所以需返回left – 1（也可返回right - 1）。
同理，当left == 0时，说明没有一个元素大于target，即target在该序列中不存在，返回-1即可。
1 if (left == 0) return -1;
2 return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;3. 统一格式
1 public int RightBound(int[] nums, int target) {
2 int left = 0, right = nums.length - 1;
3 while (left <= right) {
4 int mid = left + ((right - left) >> 1);
5 if (nums[mid] == target) {
6 left = mid + 1;
7 } else if (nums[mid] > target) {
8 right = mid - 1;
9 } else if (nums[mid] < target) {
10 left = mid + 1;
11 }
12 }
13 if (right < 0 || nums[right] != target)
14 return -1;
15 return right;
16 }小结
1. 写二分查找时，尽量不要出现 else，将所有情况列出来便于分析。
2. 注意搜索区间形式和 while 的终止条件，若存在漏掉的元素，最后特判。
3. 如需定义左闭右开的搜索区间，搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
4. 如果将搜索区间全都统一成两端闭，只要修改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可。
从一维二分谈起
二分法，用于在集合中查找某些符合要求的元素，可以将时间复杂度降低至对数级。使用二分法的前提是查找序列的有序性，主要思想是从序列中间位置开始，根据当前的中间值与目标值的大小关系，修改区间端点，确定目标值所在区间。
题意：在半有序的结合中查找目标元素的索引值
思想：选定中点，比较中点值来更改区间，但需要先判断当前所查找的区间是否为有序区间，否则不能使用二分法
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public int Search(int[] nums, int target) {
5 int n = nums.Length;
6 if(n == 0) return -1;
7 if(n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;
8
9 int left = 0, right = n - 1;
10 while(left <= right) {
11 int mid = left + ((right - left) >> 1);
12 if(target == nums[mid]) return mid;
13 if(nums[0] <= nums[mid]) {
14 if(nums[0] <= target && target < nums[mid]) right = mid - 1;
15 else left = mid + 1;
16 }
17 else if(nums[0] > nums[mid]){
18 if(nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) left = mid + 1;
19 else right = mid - 1;
20 }
21 }
22 return -1;
23 }
24 } 1 //C++ Version
2
3 class Solution {
4 public:
5 int search(vector& nums, int target) {
6 int n = (int)nums.size();
7 if(n == 0) return -1;
8 if(n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;
9
10 int left = 0, right = n - 1;
11 while(left <= right) {
12 int mid = left + ((right - left) >> 1);
13 if(target == nums[mid]) return mid;
14 if(nums[0] <= nums[mid]) {
15 if(nums[0] <= target && target < nums[mid]) right = mid - 1;
16 else left = mid + 1;
17 }
18 else if(nums[0] > nums[mid]){
19 if(nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) left = mid + 1;
20 else right = mid - 1;
21 }
22 }
23 return -1;
24 }
25 }; 题意：找出数组中满足其和大于等于目标值的长度最小的连续子序列
思想：要判断连续区间内的和，就先求出原数组的前缀和，因为题保证了数组中每个元素都为正，所以前缀和一定是递增的，保证了二分的正确性。
得到前缀和之后，对于每个开始下标 i，可通过二分查找得到大于或等于i的最小下标 bound，使得 sum[bound] - sum [i 1] target，并更新子数组的最小长度，此时子数组的长度是bound - i + 1。
【注：此解法非最优解】
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public int MinSubArrayLen(int target, int[] nums) {
5 int n = nums.Length;
6 if (n == 0) return 0;
7 int ans = int.MaxValue;
8 int[] sums = new int[n + 1];
9 for (int i = 1; i <= n; ++i)
10 sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1];
11 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
12 int s = target + sums[i - 1];
13 int bound = LowerBound(sums, i, n - 1, s);
14 if (bound != -1)
15 ans = Math.Min(ans, bound - i + 1);
16 }
17 return ans == int.MaxValue ? 0 : ans;
18 }
19 private int LowerBound(int[] nums, int left, int right, int s) {
20 while (left <= right) {
21 int mid = left + ((right - left) >> 1);
22 if (nums[mid] < s) left = mid + 1;
23 else right = mid - 1;
24 }
25 return (nums[left] >= s) ? left : -1;
26 }
27 } 1 //C++ Version
2
3 class Solution {
4 public:
5 int minSubArrayLen(int s, vector& nums) {
6 int n = nums.size();
7 if (n == 0) return 0;
8 int ans = INT_MAX;
9 vector sums(n + 1, 0);
10 for (int i = 1; i <= n; i++)
11 sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1];
12 for (int i = 1; i <= n; i++) {
13 int target = s + sums[i - 1];
14 auto bound = lower_bound(sums.begin(), sums.end(), target);
15 if (bound != sums.end())
16 ans = min(ans, static_cast((bound - sums.begin()) - (i - 1)));
17 }
18 return ans == INT_MAX ? 0 : ans;
19 }
20 }; 题意：找到数组中某个峰值元素的索引（且nums[-1]与nums[len] = 负无穷）
思想：首先思考如何判断峰值所在区间。
假设mid < mid + 1
综上：峰值一定在较大的一部分。
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public int FindPeakElement(int[] nums) {
5 int left = 0, right = nums.Length - 1;
6 while(left < right)
7 {
8 int mid = left + (right - left) / 2;
9 if(nums[mid] > nums[mid + 1]) right = mid;
10 else left = mid + 1;
11 }
12 return left;
13 }
14 } 1 //C++ Version
2
3 int findPeakElement(vector& nums) {
4 int left = 0, right = nums.size() - 1;
5 for (; left < right; ) {
6 int mid = left + (right - left) / 2;
7 if (nums[mid] > nums[mid + 1]) {
8 right = mid;
9 } else {
10 left = mid + 1;
11 }
12 }
13 return left;
14 } 小结
一维二分思想和操作较为简单，具体步骤为：
1. 确定并构建查找对象。即是查找元素，还是查找和、差等，构建出用于查找的序列，如：前缀和。
2. 判断二分后目标值可能的所在区间。一般是通过中值和目标值的比较更改区间，特殊地（如峰值寻找）需要运用一定数学知识进行判断。
有关二维二分
二维本质上可以看作是一维的叠加，某些简单的情况下，可以一维一维的查找。也可以从定义出发，从中点开始进行区间更改。当然，二维二分也有一些常见的变式，如从一个端点、对角线两个端点出发等。
题意：在二维矩阵中查找某个值是否存在。
思想：可以将二维数组划分为一维数组，一行一行或一列一列进行判断。可以对矩阵的第一列的元素二分查找，找到最后一个不大于目标值的元素，然后在该元素所在行，进行二分查找目标值是否存在。
1 //C# Version
2
3 class Solution {
4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) {
5 int rowIndex = BinarySearchFirstColumn(matrix, target);
6 if (rowIndex < 0) return false;
7 return BinarySearchRow(matrix[rowIndex], target);
8 }
9
10 private int BinarySearchFirstColumn(int[][] matrix, int target) {
11 int low = -1, high = matrix.Length - 1;
12 while (low < high) {
13 int mid = (high - low + 1) / 2 + low;
14 if (matrix[mid][0] <= target) low = mid;
15 else high = mid - 1;
16 }
17 return low;
18 }
19
20 private bool BinarySearchRow(int[] row, int target) {
21 int low = 0, high = row.Length - 1;
22 while (low <= high) {
23 int mid = (high - low) / 2 + low;
24 if (row[mid] == target) return true;
25 else if (row[mid] > target) high = mid - 1;
26 else low = mid + 1;
27 }
28 return false;
29 }
30 }也可以从定义出发，从中间点开始进行判断。
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) {
5 int m = matrix.Length, n = matrix[0].Length;
6 int low = 0, high = m * n - 1;
7 while (low <= high) {
8 int mid = low + ((high - low) >> 1);
9 int x = matrix[mid / n][mid % n];
10 if (x < target) low = mid + 1;
11 else if (x > target) high = mid - 1;
12 else return true;
13 }
14 return false;
15 }
16 }注意到每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。因此，把每一行拼接到前一行可以得到一个递增序列，所以可以从右上角开始进行判断。
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public bool SearchMatrix(int[][] matrix, int target) {
5 int n = matrix.Length;
6 if(n == 0) return false;
7 int row = 0, col = matrix[0].Length - 1;
8 while(row < n && col >= 0)
9 {
10 if(matrix[row][col] < target) row++;
11 else if(matrix[row][col] >target) col--;
12 else return true;
13 }
14 return false;
15 }
16 } 1 //C++ Version
2
3 class Solution {
4 public:
5 bool searchMatrix(vector>& matrix, int target) {
6 int row = matrix.size(), col = matrix[0].size();
7 for(int i = 0, j = col-1; i < row && j >= 0;) {
8 if(matrix[i][j] == target)
9 return true;
10 else if(matrix[i][j] > target)
11 j--;
12 else if(matrix[i][j] < target)
13 i++;
14 }
15 return false;
16 }
17 }; 题意：在矩阵中找到第K小数
思想：可以从定义出发，从中间点开始进行判断。关键是统计对于当前数mid，有多少个比它小的数。
若每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数，则cnt = i * n + j。但本题不满足该条件，则需要寻找一个参照值，通过循环，统计小于等于当前值的元素数。观察四个边角，左上角的元素最小，右下角的元素最大，而左下角和右上角的元素大小与mid相比是未定的，不妨取二者其一作为参照值。
在此，取左下角的值为参照值。
1 //C# Version
2
3 public class Solution {
4 public int KthSmallest(int[][] matrix, int k) {
5 int n = matrix.Length;
6 int left = matrix[0][0], right = matrix[n - 1][n - 1];
7 while(left < right) {
8 int mid = left + ((right - left) >> 1);
9 if(Check(matrix, mid, k, n)) right = mid;
10 else left = mid + 1;
11 }
12 return left;
13 }
14 private bool Check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
15 int cnt = 0;
16 int i = n - 1, j = 0;
17 while(i >= 0 && j < n) {
18 if(matrix[i][j] > mid) i--;
19 else {
20 cnt += i + 1;
21 j++;
22 }
23 }
24 return cnt >= k;
25 }
26 }本题与上题类似，只是在计数上有变化。
1 /C# Version
2
3 public class Solution {
4 public int FindKthNumber(int m, int n, int k) {
5 int left = 1, right = m * n;
6 while(left < right) {
7 int mid = left + ((right - left) >> 1);
8 if(CheckCnt(mid, k, m, n)) right = mid;
9 else left = mid + 1;
10 }
11 return left;
12 }
13 private bool CheckCnt(int mid, int k, int m, int n) {
14 int cnt = 0;
15 for(int i = 1; i <= m; i++) cnt += Math.Min(mid / i, n);
16 return cnt >= k;
17 }
18 }小结
二维二分通常从边角出发，通常以边角值为参照值，进行区间的更新。其本质依旧是比大小，改区间。
有关第K小数
在此介绍一种算法：中位数的中位数算（BFPRT），该算法主要解决TOP-K问题。
有一个经典的问题，“从长度为N的无序数组中找出前k大的数”。TOP-K问题的最简单解法为快速排序后取第K大的数，但快速排序可能会达到最坏情况时间复杂度O(n2)，且会对无用的数据进行排序操作（归并除外）。而该算法的主要优化是，修改快速排序选择主元的方法，优化最坏时间复杂度。
对于快速排序，一般选择中间位置的元素作为参照值，将小的数移到参照值左边，大的数移到右边，此时对于中间位置的该值，即为序列中第n/2小的数。
那么，是否可以用类似的方法，通过一次O(n)的操作找出第k小数呢？
该算法通过“随机选择”实现了这个操作，其思想与快排类似，仅仅改变了对参照值的选取。
具体流程：
1.将n个元素划为 n/5 组，每组5个，至多只有一组由 n%5 个元素组成。
2.寻找每一个组的中位数（可以用插排）。
3.对步骤2选出的 n/5 个中位数，重复步骤1和步骤2，递归下去，直到剩下一个数字。
4.最终剩下的数字近似为序列的中位数pivot，把小于等于它的数放左边，大于的数放右边。
5.判断pivot的位置与k的大小，如果pivot > k，则在[0, pivot – 1]内寻找第k小数；反之在[pivot + 1, n - 1]内寻找 k – pivot 小的数。
注意下面两种分治的思想：
1.分治法O(nlogn)：大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序。
2.减治法O(n)：大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择。
1 #include
2 using namespace std;
3
4 int InsertSort(int array[], int left, int right);
5 int GetPivotIndex(int array[], int left, int right);
6 int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index);
7 int BFPRT(int array[], int left, int right, int k);
8
9 ///划分
10 int Partition(int arr[], int left, int right, int pivot_index) {
11 swap(arr[pivot_index], arr[right]); // 把主元放置于末尾
12
13 int partition_index = left; // 跟踪划分的分界线
14 for (int i = left; i < right; i++)
15 if (arr[i] < arr[right])
16 swap(arr[partition_index++], arr[i]); // 比pivot小的都放在左侧
17
18 swap(arr[partition_index], arr[right]); // 最后把pivot换回来
19 return partition_index;
20 }
21
22 ///返回第 k 小数的下标
23 int BFPRT(int arr[], int left, int right, int k) {
24 int pivot_index = GetPivotIndex(arr, left, right); // 得到中位数的中位数下标
25 int partition_index = Partition(arr, left, right, pivot_index); // 进行划分，返回划分边界
26 int num = partition_index - left + 1;
27
28 if (num == k)
29 return partition_index;
30 else if (num > k)
31 return BFPRT(arr, left, partition_index - 1, k);
32 else
33 return BFPRT(arr, partition_index + 1, right, k - num);
34 }
35
36 ///返回 [left, right]的中位数。
37 int Insertion(int arr[], int left, int right) {
38 int temp, j;
39 for (int i = left + 1; i <= right; i++) {
40 temp = arr[i];
41 j = i - 1;
42 while (j >= left && arr[j] > temp) {
43 arr[j + 1] = arr[j];
44 j--;
45 }
46 arr[j + 1] = temp;
47 }
48 return left + ((right - left) >> 1);
49 }
50
51 ///数组每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，最后返回这些中位数的中位数下标
52 ///末尾返回语句最后一个参数多加 1 的作用是向上取整，可以始终保持 k 大于 0。
53 int GetPivotIndex(int arr[], int left, int right) {
54 if (right - left < 5)
55 return Insertion(arr, left, right);
56 int sub_right = left - 1;
57
58 // 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边
59 for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5) {
60 int index = Insertion(arr, i, i + 4);
61 swap(arr[++sub_right], arr[index]);
62 }
63
64 // 利用 BFPRT 得到这些中位数的中位数下标
65 return BFPRT(arr, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);
66 }
67
68 int main() {
69 ios::sync_with_stdio(false);
70 int k = 8; // 1 <= k <= array.size
71 int nums[20] = { 12, 9, 7, 1, 13, 9, 15, 0, 26, 2, 17, 5, 14, 31, 6, 18, 22, 7, 19, 41 };
72
73 cout << "The Source Data：";
74 for (int i = 0; i < 20; i++)
75 cout << nums[i] << " ";
76 cout << endl;
77
78 // 因为是以 k 为划分，所以还可以求出第 k 小值
79 cout << "The Kth smallest number：" << nums[BFPRT(nums, 0, 19, k)] << endl;
80
81 cout << "After Processing：";
82 for (int i = 0; i < 20; i++)
83 cout << nums[i] << " ";
84 cout << endl;
85 return 0;
86 } 
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页面更新：2024-05-01
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