两点之间总是直线最短吗？

两点之间总是直线最短吗？

不，直线并不总是两点之间最短的距离。 两点之间的最短距离取决于物体的几何形状。 对于平面来说，直线确实是最短的距离，但对于像地球这样的球面来说，大圆距离实际上代表了真正的最短距离。

我们所有人在很小的时候就被教导“直线段是两点之间最短的距离”。 然而，如果有人告诉你这句历史悠久的格言并不完全正确，你能够接受吗?

事实证明，这种说法只是部分正确。 两点之间的最短距离实际上取决于所讨论物体的几何形状。

如果我们生活在一个平坦地球(但不是),那么是的,一条直线将是A和B点之间最短的距离。不过,地球是一个近似球体,两点之间最短的距离是一个球体的表面的一个弧长，称为“大圆距离”。

大圆距离

大圆距离并不是一个新概念; 事实上，你们很多人已经看到了它的作用。

乘过飞机或只检查过航线的人可能已经注意到，航班不是沿着直线飞行，而是沿着弯曲的路线到达目的地。 而它们实际上是地球上任何两个给定地点之间最短的距离。

这些弯曲的路线常常令人困惑，因为这些路线是在平面的二维地图上勾勒出来的，在那里直线似乎是最短的距离。 然而，没有一个二维的地球地图是准确的。

我们大地之母“地球”是一个三维空间，最好使用模型地球仪展示。 然而，当一个人试图将球体平展成一个矩形的形状，就像大多数地图做的那样，古老的扭曲难题就会成为焦点。 大多数矩形地图会标明国家的形状、大小、中间距离，甚至是便于理解的合法信息。

地球上所有的地图都是不精确的。想象一下，你想从老鼠横行的纽约飞到爱之城巴黎。 在地球仪上，这两个城市之间最短的距离约为3630英里，但同样的弧线，在2D地图上投影后，会变成约3750英里的直线。

这一点你可以在在谷歌地图上自己去验证。

两个数之间的差异(3750 - 3630 = 120英里)看上去不像是很大,但考虑到波音747每英里平均消耗5加仑的燃料,飞机需要额外的(5加仑/英里 120英里=)600加仑(2250升)，这会增加机票的成本。

数学上的大圆距离

从纯粹的数学角度讲，大圆(也称为球面测地线)是画在圆心与圆心重合的球面上的任何圆，从而将球面分成相等的两半。 简单地说，大圆是球体上能刻出的最大的圆。 另一方面，小圆是指圆心和球心不重合。

想象(或检查下图)沿着赤道或两极切割地球。 在这两种情况下产生的半球是相等的，这些半球的面将具有与球体(地球)本身相同的直径和中心。

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球面(地球)上任意两个非直径点，只存在一个唯一的大圆，而球面上的直径点（过球心的直径的两个端点），可以画出无数个大圆。 这些点把圆分成两条弧; 较小的圆弧表示两点间的真正最短距离，称为大圆距离。

下图中，点P和Q是两个非径点，弧PQ表示两者之间的最短距离(大圆距离)。 另一方面，点u和点v被称为对映点或完全相反的点，把大圆分成两条相同的弧。

弧PQ表示两点之间的最短距离。

其中，d是大圆最短距离距离，r是球面(地球)的半径，cos-1(cos σ1 .cos σ2 .cos (λ1 - λ2) + sin σ1 .sin σ2)是坐标分别为σ1， λ1和σ2， λ2的两点所对应的圆心角，σ1，和σ2是维度角，λ1和 λ2是经度角。 注意反余弦得出的角度是弧度。

结尾

球面(地球)上任意两个非直径点(点)，只存在一个唯一的大圆，而球面上的直径点，可以画出无数个大圆。 如前所述，大圆主要用于长途旅行，特别是空中和海上航行。 由于大圆距离的弯曲性质，加上地球的自转，飞行员和水手们不断地调整航向。 因此，一个大圆的距离被分解成“恒等线”，代表一个恒定的方向。

尽管如此，即使是大圆的距离也不能代表两个给定位置之间真正的最短距离。 大圆距离的计算假设地球是一个完美的球体，但行星更像是一个面向赤道和两极的半径不同的扁平球体。 因此，大圆值的公差约为 5%。