《正方形》的教案设计

　　一、教学目的

　　1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

　　2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

　　二、重点、难点

　　1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

　　2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

　　三、例题的意图分析

　　本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

　　①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

　　②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

　　③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

　　④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

　　⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

　　四、课堂引入

　　1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

　　学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

　　正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的'平行四边形叫做正方形．

　　指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

　　（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）

　　（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

　　2．【问题】正方形有什么性质？

　　由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

　　所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

　　五、例习题分析

　　例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

　　已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

　　求证： ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形．

　　证明：  四边形ABCD是正方形，

　　AC=BD， ACBD，

　　AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

　　 ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形，

　　并且 ABO BCO CDO DAO．

　　例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F．

　　求证：OE=OF．

　　分析：要证明OE=OF，只需证明 AEO DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

　　证明： 四边形ABCD是正方形，

　　AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

　　又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90．

　　EAO=FDO．

　　 AEO DFO．

　　OE=OF．

　　例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1 l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

　　求证：四边形PQMN是正方形．

　　分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证 ABM DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

　　证明：  PNl1，QMl1，

　　PN QM，PNM=90．

　　  PQ NM，

　　四边形PQMN是矩形．

　　 四边形ABCD是正方形

　　BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

　　2=90．

　　又  2=90，   3．

　　 ABM DAN．

　　AM=DN． 同理 AN=DP．

　　AM+AN=DN+DP

　　即 MN=PN．

　　四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

　　六、随堂练习

　　1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

　　2．下列说法是否正确，并说明理由．

　　①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

　　②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

　　③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

　　④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

　　⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

　　1． 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

　　为CD、CB延长线上的点，且DE BF．

　　求证：AFE AEF．

　　4．如图，E为正方形ABCD内一点，且 EBC是等边三角形，

　　求EAD与ECD的度数．

　　七、课后练习

　　1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

　　求证：EAAF．

　　2．已知：如图， ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

　　3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．