牛顿运动定律

第三章　
第一单元　牛顿第一、第三定律
基础知识
 一、牛顿第一定律
1、内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．
说明：（1）物体不受外力是该定律的条件．
    （2）物体总保持匀速直线运动或静止状态是结果．
    （3）直至外力迫使它改变这种状态为止，说明力是产生加速度的原因．
（4）物体保持原来运动状态的性质叫惯性，惯性大小的量度是物体的质量．
（5）应注意：①牛顿第一定律不是实脸直接总结出来的．牛顿以伽利略的理想斜面实脸为基拙，加之高度的抽象思维，概括总结出来的．不可能由实际的实验来验证；
②牛顿第一定律不是牛顿第二定律的特例，而是不受外力时的理想化状态．
③定律揭示了力和运动的关系：力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因．
【例1】科学思维和科学方法是我们认识世界的基本手段．在研究和解决问题过程中，不仅需要相应的知识，还要注意运用科学方法．
   理想实验有时更能深刻地反映自然规律，伽利略设想了一个理想实验，其中有一个是实验事实，其余是推论．
①减小第二个斜面的倾角，小球在这斜面上仍然要达到原来的高度；
②两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面；
③如果没有摩擦，小球将上升到原来释放的高度；
④继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成水平面，小球要沿水平面做持续的匀速运动．
请将上述理想实验的设想步骤按照正确的顺序排列   ②③①④    〔只要填写序号即可）．在上述的设想步骤中，有的属于可靠的事实，有的则是理想化的推论．下列关于事实和推论的分类正确的是（  b  ）
a、①是事实，②③④是推论
b、②是事实，①③④是推论
c、③是事实，①②④是推论
d、④是事实，①②③是推论
2、惯性：物体保持匀速直线运动状态或静止状态的性质．
说明：①惯性是物体的固有属性，与物体是否受力及运动状态无关．
②质量是惯性大小的量度．质量大的物体惯性大，质量小的物体惯性小．
有的同学总认为“惯性与物体的运动速度有关，速度大，惯性大，速度小，惯性就小”，理由是物体的运动速度大，不容易停下来，产生这种错误的原因是把“惯性大小表示运动状态改变的难易程度”理解成“惯性大小表示把物体从运动变为静止的难易程度”，实际上，在受到相同阻力的情况下，速度大小不同的质量相同的物体，在相等的时间内速度的减小量是相同的，这说明它们的惯性是相同的，与速度无关。
【例2】下列说法正确的是（d）
a、运动得越快的汽车越不容易停下来，是因为汽车运动得越快，惯性越大
b、小球在做自由落体运动时，惯性不存在了
c、把一个物体竖直向上抛出后，能继续上升，是因为物体仍受到一个向上的推力
d、物体的惯性仅与质量有关，质量大的惯性大，质量小的惯性小
解析：惯性是物体保持原来运动状态的性质，仅由质量决定，与它的受力状况与运动状况均无关。一切物体都有惯性。
【例3】火车在长直水平轨道上匀速行驶，车厢内有一个人向上跳起，发现仍落回到车上原处，这是因为（   ）
a．人跳起后，车厢内的空气给人一个向前的力，这力使他向前运动
b．人跳起时，车厢对人一个向前的摩擦力，这力使人向前运动
c．人跳起后，车继续向前运动，所以人下落后必定向后偏一些，只是由于时间很短，距离太小，不明显而已
d．人跳起后，在水平方向人和车水平速度始终相同
    解析：人向上跳起，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向不受外力作用（空气阻力不计），由于惯性，所以水平方向与车速度相同，因而人落回原处．    答案：d
二、牛顿第三定律
（1）内容：两物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，而且在一条直线上．
（2）表达式：f=－f/
说明：①作用力和反作用力同时产生，同时消失，同种性质，作用在不同的物体上，各产生其效果，不能抵消，所以这两个力不会平衡．
②作用力和反作用力的关系与物体的运动状态无关．不管两物体处于什么状态，牛顿第三定律都适用。
③借助牛顿第三定律可以变换研究对象，从一个物体的受力分析过渡到另一个物体的受力分析．
④一对作用力和反作用力在同一个过程中（同一段时间或同一段位移）的总冲量一定为零，但作的总功可能为零、可能为正、也可能为负。这是因为作用力和反作用力的作用时间一定是相同的，而位移大小、方向都可能是不同的。
三、作用力和反作用力与平衡力的区别
 注意：判断两个力是不是一对作用力与反作用力时，应分析这两个力是否具有“甲对乙”和“乙对甲”的关系，即受力物体与施力物体是否具有互易关系．否则，一对作用力和反作用力很容易与一对平衡力相混淆，因为它们都具有大小相等、方向相反、作用在同一条直线上的特点．
内容 作用力和反作用力 二力平衡
受力物体 作用在两个相互作用的物体大 作用在同一物体上
依赖关系 相互依存，不可单独存在 无依赖关系，撤除一个，另一个可依然存在，只是不再平衡
叠加性 两力作用效果不可抵消，不可叠加，不可求合力 两力作用效果可相互抵消，可叠加，可求合力，合力为零
力的性质 一定是同性质的力 可以是同性质的力，也可以是不同性质的力

规律方法
 1、正确理解惯性和平衡状态
【例4】下面说法正确的是（   ）
a．静止或做匀速直线运动的物体一定不受外力的作用
b．物体的速度为零时一定处于平衡状态
c．物体的运动状态发生变化时，一定受到外力的作用
d．物体的位移方向一定与所受合力方向一致
解析：a．物体不受外力时一定处于静止或匀速运动状态，但处于这些状态时不一定不受外力作用，所以a错，b．物体是否处于平衡状态是看其受力是否为零，而不是看它的速度是否为零，如振动物体离平衡位置最远时速度为零，此时恢复力不为零，它就不处于平衡状态，所以b错，d．如平抛运动就不是这种情况，力与位移方向不一致，所以d错．    答案：c
【例5】以下有关惯性的说法中正确的是（bd）
a、在水平轨道上滑行的两节车厢质量相同，行驶速度较大的不容易停下来，说明速度较大的物体惯性大
b、在水平轨道上滑行的两节车厢速度相同，其中质量较大的车厢不容易停下来，说明质量大的物体惯性大
c、推动原来静止在水平轨道上的车厢，比推另一节相同的、正在滑行的车厢需要的力大，说明静止的物体惯性大
d、物体的惯性大小与物体的运动情况及受力情况无关
解析：惯性的大小由质量决定且与运动状态及受力状态无关。答案bd
【例6】公共汽车在平直的公路上行驶时，固定于路旁的照相机每隔两秒连续两次对其拍照，得到清晰照片，如图所示．分析照片得到如下结果：（1)在两张照片中，悬挂在公共汽车顶棚上的拉手均向后倾斜且程度相同；（2）对间隔2s所拍的照片进行比较，可知汽车在2s内前进了12 m.
    根据这两张照片，下列分析正确的是（abd）
a.在拍第一张照片时公共汽车正加速
b.可求出汽车在t 1s时的运动速度
c.若后来发现车顶棚上的拉手自然下垂，则汽车一定停止前进
d.若后来发现车顶棚上的拉手自然下垂，则汽车可能做匀速运动
解析:由于车顶棚上的拉手向后倾斜且两次程度相同，可知车匀加速前进；根据匀变速直线的平均速度等于这段时间的中间时刻的即时速度，可求得t=1s时的速度；当拉手自然下垂时，汽车处于平衡态，可能静止，也可能是匀速度运动．
2、正确区分平衡力与作用力、反作用力
【例7】物体静止于一斜面上如图所示．则下述说法正确的是（  b  ）
（a）物体对斜面的压力和斜面对物体的持力是一对平衡力
（b）物体对斜面的摩擦力和斜面对物体的摩擦力是一对作用力和反作用力
（c）物体所受重力和斜面对物体的作用力是一对作用力和反作用力
（d）物体所受重力可以分解为沿斜面向下的力和对斜面的压力
 解析：作用力和反作用力是两个物体间相互产生的，必是同性质的力，而一对平衡力是作用于同一物体两个等大、反向、共线之力，性质上无任何必然的联系．上述各对力中，物体对斜面的压力和斜面对物体的支持力及物体对斜面的摩擦力和斜面对物体的摩擦力同属物体和斜面问的相互作用力，分别作用在斜面和物体上，因此它们为两对作用力和反作用力．所以（a）错（b）对；物体所受重力是地球施加的，其反作用力为物体对地球的吸收力，应作用在地球上，因此可知（c）错；至于物体所受重力，无论如何分解，各分力都应作用在物体上，而不能作用在斜面上而形成对斜面的压力，故答案（d）亦错．
【例8】有下列说法中说法正确的是（  d  ）
① 一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速运动），这两个力在同一段时间内的冲量一定相同。
②一质点受两个力作用且处于平衡状态（静止或匀速运动），这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反。
③在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反。
④在同样时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，正负号也不一定相反
 a、①②   b、①③   c、②③    d、②④
解析：满足①②的两个力是平衡力，故冲量大小相等，方向相反，做功或者都为零（物体静止时），或者数值相等，一正功一负功（匀速运动时），故①错②对。作用力和反作用力可以都做正功，也可以都做负功，数值也不确定，只要设想两块磁铁放在小车上的各种运动情况便可判断，故③错④对   答案：d
3、用牛顿第一、第三定律解释物理现象
【例9】请用自己所学习的物理知识解释“船大调头难”这句俗语的道理．
    解析：“船大”，指船的质量大，“调头难”指改变速度方向难，“船大调头难”说明质量大的物体惯性大，要改变其运动状态需要的力大．
【例10】下列说法正确的是（  c  ）
a、人走路时，地对脚的力大于脚蹬地的力，所以人才往前走
b、只有你站在地上不动，你对地面的压力和地面对你的支持力，才是大小相等、方向相反的
c、物体a静止在物体b上，a的质量是b的质量的100倍，则a作用于b的力大小等于b作用于a的力的大小
d、以卵击石，石头没损伤而鸡蛋破了，这是因为石头对鸡蛋的作用力大于鸡蛋对石头的作用力
解析：以上四种情形中的相互作用力等值、反向、共线，这个关系与运动状态无关。答案：c
【例11】由同种材料制成的物体a和b放在长木板上，随长木板一起以速度v向右做匀速直线运动，如图所示，已知ma > mb，某时刻木板停止运动，下列说法正确的是〔d）
a、若木块光滑，由于a的惯性较大,a、b间的距离将增大
b、若木板光滑，由于b的惯性较小,a、b间距离将减小
c、若木板粗糙，a、b一定会相撞
d、不论木板是否光滑,a、b间的相对距离保持不变
解析：开始a、b随木板一起匀速运动，说明a、b所受的合外力为零。当木板停止运动后：
若木块光滑，a、b大水平方向上不受外力的作用，仍以原来的速度做匀速运动，则相互间距离保持不变。
若木板粗糙，由于a、b的材料相同，它们与木板的动摩擦因数相同，其加速度相同，即a、b以相同的初速度和加速度做匀减速运动，所以它们之间的距离仍保持不变。答案d
思考：①若a、b的动摩擦因数不等，则a、b间的距离可能怎样变？
② 为什么本题的结论与a、b的质量无关？
【例12】蛙泳时，双脚向后蹬水，水受到向后的作用力，则人体受到向前的反作用力，这就是人体获得的推进力。但是，在自由泳时，下肢是上下打水，为什么却获得向前的推进力呢？
【解析】图表示人体作自由泳时，下肢在某一时刻的动作：右脚向下打水，左脚向上打水。由图可见，由于双脚与水的作用面是倾斜的，故双脚所施的作用力p和q是斜面面的（水所受的作用力是斜向后的）。p的分力为p1和p2，而q的分力为ql和q2，pl和q1都是向前的分力，也就是下肢获得的推进力。
同样道理，鱼类在水中左右摆尾，却获得向前的椎讲大．也具由于向前的分力所致
【例13】如图所示，水平放置的小瓶内装有水，其中有气泡，当瓶子从静止状态突然向右加速运动时，小气泡在瓶内将向何方运动？当瓶子从向右匀速运动状态突然停止时，小气泡在瓶内又将如何运动？
  【解】在许多学生的答卷中这样写道：当瓶子从防止状态突然向右运动时，小气泡在瓶内由于惯性将向左运动；当瓶子从向右匀速运动状态突然停止时，小气泡在瓶内由于惯性将向右运动。
    而正确答案刚好与之相反。因为当瓶子从静止状态突然向右加速运动时，瓶中的水由于惯性要保持原有的静止状态，相对瓶来说是向左运动，气泡也有惯性，但相比水来说质量很小，惯性小可忽略不计，所以气泡相对水向右移动。同理，当瓶子从向右匀速运动状态突然停止时，小气泡在瓶内将向左运动。
    另外，该题也用转换研究对象的方法予以定量解决。设想有一块水，其体积、形状和气泡相同，当玻璃营向右加速运动时，这块水就和周围的水一起向右加速运动，相对于玻璃管不会有相对运动，这块水所受的外力f由周围的水对它产生，设这块水的体积为 v，水的密度为ρ水，玻璃管的加速度为a，则f m水a ρ水va。现在将这块水换成气泡，显然，在其他条件不变的情况下，周围水对气泡的作用力仍为f，气泡将在该力作用于做加速运动。则 a气=f/m气=ρ水va/ρ水v， ρ水 ρ水，
a气 a，即气泡相对于玻璃管向右运动。   
试题展示
1.下列说法正确的是（   ）
a．一同学看见某人用手推静止的小车，却没有推动，于是说是因为这辆车惯性太大的缘故
b．运动得越快的汽车越不容易停下来，是因为汽车运动得越快，惯性越大
c．把一个物体竖直向上抛出后，能继续上升，是因为物体仍受到一个向上的推力
d．放在光滑水平桌面上的两个物体，受到相同大小的水平推力，加速度大的物体惯性小
【解析】“力是改变物体运动状态的原因”。这里所说的“力”是指物体所受的合力，而不是某一个力，该同学推不动物体，是由于物体还受到摩擦力作用，其合力仍为零的缘故，故a选项错误。
惯性大小的唯一量度是质量，惯性大小与运动速度大小、运动时间长短无关，故b选项也错，
力是改变运动状态的原因，而不是维持运动的原因，物体的运动不需要力来维持，一个物体竖直向上抛出能继续上升是由于物体具有惯性的缘故，而不是抛出后物体还受到竖直向上的作用力，故c选项错误。
惯性是物体保持运动状态不变的性质，惯性大小反映了改变物体运动状态的难易程度，同样大小的力作用在不同物体上，产生的加速度越大，其质量m=f/a越小，惯性越小，因此，d选项正确。
2.甲乙两队拔河比赛，甲队胜，如不计绳子的质量，下列说法正确的是　　　　　　　　d
a．甲队拉绳子的力大于乙队拉绳子的力
b．甲队对地面的摩擦力大于乙队对地面的摩擦力
c．甲乙两队与地面间的最大静摩擦力大小相等、方向相反
d．甲乙两队拉绳的力相等
3.16世纪纪末，伽利略用实验和推理，推翻了已在欧洲流行了近两千年的亚里士多德关于力和运动的理论，开启了物理学发展的新纪元。在以下说法中，与亚里士多德观点相反的是　　　　d
a．四匹马拉拉车比两匹马拉的车跑得快：这说明，物体受的力越大，速度就越大
b．一个运动的物体，如果不再受力了，它总会逐渐停下来，这说明，静止状态才是物体长时间不受力时的“自然状态”
c．两物体从同一高度自由下落，较重的物体下落较快
d．一个物体维持匀速直线运动，不需要受力
4.一汽车在路面情况相同的公路上直线行驶，下面关于车速、惯性、质量和滑行路程的讨论，正确的是      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ac
ａ．车速越大，它的惯性越大         
ｂ．质量越大，它的惯性越大
ｃ．车速越大，刹车后滑行的路程越长 
ｄ．车速越大，刹车后滑行的路程越长，所以惯性越大
5.火车在长直水平轨道上匀速行驶，门窗紧闭的车厢内有一个人向上跳起，发现仍落回到车上原处，这是因为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d
a．人跳起后，厢内空气给他向前的力，带着他随同火车一起向前运动
b．人跳起的瞬间，车厢的地板给他一个向前的力，推动他随同火车一起向前运动
c．人跳起后，火车继续向前运动，所以人落下后必定偏后一些，只是由于时间很短，偏后距离太小，不明显而已
d．人跳起后直接落地，在水平方向上人和车具有相同的速度
6. 如图所示，一个劈形物体m，各面均光滑，放在固定斜面上，上面成水平，水平面上放一光滑小球m，劈形物体从静止开始释放，则小球碰到斜面前的运动轨迹是　　　　　　　　　b　　　
a．沿斜面向下的直线   b．竖直向下的直线
c．无规则曲线         d．抛物线

第二单元　牛顿第二定律
基础知识
一、牛顿第二定律
1.内容：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同．
2.公式：f=ma
3、对牛顿第二定律理解：
（1）f=ma中的f为物体所受到的合外力．
（2）f ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果f是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．
（3）f ma中的 f与a有瞬时对应关系， f变a则变，f大小变，a则大小变，f方向变a也方向变．
（4）f ma中的 f与a有矢量对应关系， a的方向一定与f的方向相同。
（5）f ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．
（6）f ma中，f的单位是牛顿，m的单位是千克，a的单位是米／秒2．
（7）f ma的适用范围：宏观、低速
【例1】如图所示，轻绳跨过定滑轮（与滑轮问摩擦不计）一端系一质量为m的物体，一端用pn的拉力，结果物体上升的加速度为a1，后来将pn的力改为重力为pn的物体，m向上的加速度为a2则（     ）
    a．a1 a2 ；b．a1 a2  ；c、a1 a2 ；d．无法判断
简析：a1 p/m，a2=p/（m ）所以a1 a2
注意： f ma关系中的m为系统的合质量．
二、突变类问题（力的瞬时性）
（1）物体运动的加速度a与其所受的合外力f有瞬时对应关系，每一瞬时的加速度只取决于这一瞬时的合外力，而与这一瞬时之前或之后的力无关，不等于零的合外力作用的物体上，物体立即产生加速度；若合外力的大小或方向改变，加速度的大小或方向也立即（同时）改变；若合外力变为零，加速度也立即变为零（物体运动的加速度可以突变）。
（2）中学物理中的“绳”和“线”，是理想化模型，具有如下几个特性：   
a．轻：即绳（或线）的质量和重力均可视为等于零，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张为大小相等。
b．软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力（因绳能变曲），绳与其物体相互间作用力的方向总是沿着绳子且朝绳收缩的方向。
c．不可伸长：即无论绳所受拉力多大，绳子的长度不变，即绳子中的张力可以突变。
（3）中学物理中的“弹簧”和“橡皮绳”，也是理想化模型，具有如下几个特性：
a．轻：即弹簧（或橡皮绳）的质量和重力均可视为等于零，同一弹簧的两端及其中间各点的弹力大小相等。
b．弹簧既能承受拉力，也能承受压力（沿着弹簧的轴线），橡皮绳只能承受拉力。不能承受压力。
c、由于弹簧和橡皮绳受力时，要发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能发生突变。
（4）做变加速度运动的物体，加速度时刻在变化（大小变化或方向变化或大小、方向都变化度叫瞬时加速度，由牛顿第二定律知，加速度是由合外力决定的，即有什么样的合外力就有什么样的加速度相对应，当合外力恒定时，加速度也恒定，合外力随时间变化时，加速度也随时间改变，且瞬时力决定瞬时加速度，可见，确定瞬时加速度的关键是正确确定瞬时作用力。
【例2】如图（a）所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、12的两根细绳上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ,l2水平拉直，物体处于平衡状态，现将l2线剪断，求剪断瞬间物体的加速度。
（1)下面是某同学对该题的一种解法：
  设l1线上拉力为ft1，l2 线上拉力为ft2，重力为mg,物体在三力作用下保持平衡：
ft 1 cosθ mg，ft 1sinθ ft2，ft2 mgtanθ
剪断线的瞬间，ft2突然消失，物体即在ft2,反方向获得加速度．因为mgtanθ=ma,所以加速度a gtanθ，方向在ft2反方向。
你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明
（2）若将图a中的细线11改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图b所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即a=gtanθ,你认为这个结果正确吗？请说明理由．
 解析：(1)结果不正确．因为12被剪断的瞬间,11上张力的大小发生了突变，此瞬间ft1=mgcosθ,它与重力沿绳方向的分力抵消，重力垂直于绳方向的分力产生加速度:a=gsinθ。
(2)结果正确，因为l2被剪断的瞬间，弹簧11的长度不能发生突变，ft 1的大小方向都不变，它与重力的合力大小与ft2方向相反，所以物体的加速度大小为：a=gtanθ。
三 、动力学的两类基本问题                   
1、已知物体的受力情况求物体运动中的某一物理量：应先对物体受力分析，然后找出物体所受到的合外力，根据牛顿第二定律求加速度a，再根据运动学公式求运动中的某一物理量．
2、已知物体的运动情况求物体所受到的某一个力：应先根据运动学公式求得加速度a，再根据牛顿第二定律求物体所受到的合外力，从而就可以求出某一分力．
    综上所述，解决问题的关键是先根据题目中的已知条件求加速度a，然后再去求所要求的物理量，加速度象纽带一样将运动学与动力学连为一体．
【例3】如图所示，水平传送带a、b两端相距s 3.5m，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。工件滑上a端瞬时速度va 4 m/s,达到b端的瞬时速度设为vb。
(1)若传送带不动，vb多大？
(2)若传送带以速度v(匀速）逆时针转动，vb多大？
(3)若传送带以速度v(匀速）顺时针转动，vb多大？
【解析】(1)传送带不动，工件滑上传送带后，受到向左的滑动摩擦力（ff=μmg)作用，工件向右做减速运动，初速度为va，加速度大小为a μg lm/s2，到达b端的速度 .
(2)传送带逆时针转动时，工件滑上传送带后，受到向左的滑动摩擦力仍为ff=μmg ，工件向右做初速va，加速度大小为a μg 1 m/s2减速运动，到达b端的速度vb=3 m/s.
(3)传送带顺时针转动时，根据传送带速度v的大小，由下列五种情况：
①若v va，工件滑上传送带时，工件与传送带速度相同，均做匀速运动，工件到达b端的速度vb=va
②若v ，工件由a到b，全程做匀加速运动，到达b端的速度vb= =5 m/s.
③若 v va，工件由a到b，先做匀加速运动，当速度增加到传送带速度v时，工件与传送带一起作匀速运动速度相同，工件到达b端的速度vb=v.
④若v 时，工件由a到b，全程做匀减速运动，到达b端的速度
⑤若va v ，工件由a到b，先做匀减速运动，当速度减小到传送带速度v时，工件与传送带一起作匀速运动速度相同，工件到达b端的速度vb v。
 说明：（1）解答“运动和力”问题的关键是要分析清楚物体的受力情况和运动情况，弄清所给问题的物理情景．（2）审题时应注意由题给条件作必要的定性分析或半定量分析．（3）通过此题可进一步体会到，滑动摩擦力的方向并不总是阻碍物体的运动．而是阻碍物体间的相对运动，它可能是阻力，也可能是动力．
【例4】质量为m的物体放在水平地面上，受水平恒力f作用，由静止开始做匀加速直线运动，经过ts后，撤去水平拉力f，物体又经过ts停下，求物体受到的滑动摩擦力f．
    解析：物体受水平拉力f作用和撤去f后都在水平面上运动，因此，物体在运动时所受滑动磨擦力f大小恒定．我们将物体的运动分成加速和减速两个阶段来分析时，两段的加速度均可以用牛顿第二定律得出，然后可由运动学规律求出加速度之间的关系，从而求解滑动摩擦力．
    分析物体在有水平力f作用和撤去力f以后的受力情况，根据牛顿第二定律f合=ma，
    则加速阶段的加速度a1=（f－f）/m………①
经过ts后，物体的速度为v=a1t………②
撤去力f后，物体受阻力做减速运动，其加速度a2=f/m………③
因为经ts后，物体速度由v减为零，即0 2一a2t………④
依②、④两式可得a1=a2，依①、③可得（f－f）/m= f/m
可求得滑动摩擦力f=½f     答案：½f
规律方法
1、 瞬时加速度的分析
【例5】如图（a）所示，木块a、b用轻弹簧相连，放在悬挂的木箱c内，处于静止状态，它们的质量之比是1：2：3。当剪断细绳的瞬间，各物体的加速度大小及其方向？
【解析】设a的质量为m，则b、c的质量分别为2m、3m
    在未剪断细绳时，a、b、c均受平衡力作用，受力如图（b）所示。剪断绳子的瞬间，弹簧弹力不发生突变，故fl大小不变。而b与c的弹力怎样变化呢？首先b、c间的作用力肯定要变化，因为系统的平衡被打破，相互作用必然变化。我们没想一下b、c间的弹力瞬间消失。此时c 做自由落体运动，ac g；而b受力f1和2mg，则ab=（f1+2mg）/2m g，即b的加速度大于c的加速度，这是不可能的。因此 b、c之间仍然有作用力存在，具有相同的加速度。设弹力为n，共同加速度为a，则有
   f1 2mg－n 2ma …………①   3mg n 3ma ……………②      f1=mg
  解答 a 1．2， n 0•6 mg
    所以剪断细绳的瞬间，a的加速度为零；b。c加速度相同，大小均为1．2g，方向竖直向下。
  【例6】在光滑水平面上有一质量m ikg的小球，小球与水平轻弹簧和与水平方向夹角o为300的轻绳的一端相连，如图所示，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，小球加速度的大小和方向如何？此时轻弹簧的弹力与水平面对球的弹力比值是多少？
    简析：小球在绳末断时受三个力的作用， 绳剪断的瞬间，作用于小球的拉力t立即消失，但弹簧的形变还存在，故弹簧的弹力f存在．
    （1）绳未断时： tcos300 f，tsin300 mg
    解得：t 20 n    f 10  n
（2）绳断的瞬间：t=0，在竖直方向支持力n=mg，在水平方向f=ma，所以a=f/m=10 m/s2    此时f/n=10 /10=
    当将弹簧改为轻绳时，斜向上拉绳断的时间，水平绳的拉力立即为零．
【例7】如图所示,小球质量为m,被三根质量不计的弹簧a、b、c拉住,弹簧间的夹角均为1200,小球平衡时, a、b、c的弹力大小之比为3：3：1,当剪断c瞬间,小球的加速度大小及方向可能为
①g/2,竖直向下;②g/2,竖直向上;③g/4,竖直向下;④g/4,竖直向上;
a、①②;b、①④;c、②③;d、③④;
解析:设弹簧c中的弹力大小为f,则弹簧a、b中的弹力大小为3f.
(1)当a、b、c均体现拉力:平衡时3f=f mg, f=½mg.剪断c时:3f－mg=ma1
a1=½g,方向竖直向上.
(2)当a、b体现为拉力,c体现为推力:平衡时:3f f=mg, f=¼mg;剪断c时:3f－mg=ma2 , a2=－¼g,方向竖直向下.故答案c.
2、用牛顿第二定律分析物体的运动状态
牛顿第二定律的核心是加速度与合外力的瞬时对应关系，瞬时力决定瞬时加速度，解决这类问题要注意：
(1)确定瞬时加速度关键是正确确定瞬时合外力．
(2)当指定某个力变化时，是否还隐含着其他力也发生变化．
（3）整体法与隔离法的灵活运用
【例8】如图所示，一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆m和n,它们只能在图所示平面内摆动，某一瞬时出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是（    ）
a、车厢做匀速直线运动,m在摆动，n在静止；
b、车厢做匀速直线运动,m在摆动，n也在摆动；
c、车厢做匀速直线运动，m静止，n在摆动；
d、车厢做匀加速直线运动,m静止，n也静止；
解析：由牛顿第一定律，当车厢做匀速运动时，相对于车厢静止的小球，其悬线应在竖直方向上，故m球一定不能在图示情况下相对车厢静止，说明m正在摆动；而n既有可能相对于车厢静止，也有可能是相对小车摆动恰好到达图示位置。知a、b正确，c错；当车厢做匀加速直线运动时，物体运动状态改变，合外力一定不等于零，故不会出现n球悬线竖直的情况，d错。答案：ab
【例9】一个人蹲在台秤上。试分析：在人突然站起的过程中，台秤的示数如何变化？
【解析】从蹲于台秤上突然站起的全过程中，人体质心运动的v—t图象如图所示。
    在0－t1时间内：质心处于静止状态——台秤示数等于体重。f=mg。
    在t1－t2时间内：质心作加速度（a）减小的加速度运动，处于超重状态——台秤示数大于体重f mg十ma mg
    在t2时刻：a 0，v vmax，质心处于动平衡状态——台秤示数等于体重f=mg。
    在t2－t3时间内：质心作加速度增大的减速运动，处于失重状态——台秤示数小于体重f=mg－ma mg。
    在t3－t4时间内：质心又处于静止状态——台秤示数又等于体重f mg。
    故台秤的示数先偏大，后偏小，指针来回摆动一次后又停在原位置。
思考：若人突然蹲下，台秤示数又如何变化？
【例10】如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向转动，传送带右端有一个与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定速率v2沿直线向左滑向传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面，速率为v/2，则下列说法中正确的是（bc）
a、只有v1= v2时，才有v/2 v1
b、若v1 v2时，则v/2 v2
c、若v1 v2时，则v/2 v1；
d、不管v2多大，总有v/2=v2；
解析：物体在传送带上向左减速、向右加速的加速度大小相同；当v1 v2时，向左减速过程中前进一定的距离，返回时，因加速度相同，在这段距离内，加速所能达到的速度仍为v2．当v1 v2时，返回过程中，当速度增加到v1时，物体与传送带间将保持相对静止，不再加速，最终以v1离开传送带

试题展示
1.质量为m的物体从高处释放后竖直下落，在某时刻受到的空气阻力为f，加速度为a ，则f的大小为
a． 　　　　b．       c．f mg　　　　d．
【解析】以物体为研究对象，根据牛顿第二定律有mg－f ma，解得 ，选项b正确。
2. 如图，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是
a.向右做加速运动
b.向右做减速运动
c.向左做加速运动
d.向左做减速运动
答案：ad
解析：对小球水平方向受到向右的弹簧弹力n，由牛顿第二定律可知，小球必定具有向右的加速度，小球与小车相对静止，故小车可能向右加速运动或向左减速运动。
3．人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，如图所示。以下说法正确的是
a．人受到重力和支持力的作用
b．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
c．人受到的合外力不为零
d．人受到的合外力方向与速度方向相同
解析：由于人随扶梯斜向上匀速运动，对其受力分析可知，人只受重力和支持力的作用，选项a正确。
4．一质量为m的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力f始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g．现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为
  a.       b. 
c.         d. 0
答案：a
解析：考查牛顿运动定律。设减少的质量为 m，匀速下降时：mg=f kv，匀速上升时：mg－ mg kv = f，解得 mg = 2(m－fg)，a正确。本题要注意受力分析各个力的方向。
5.一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连。小球某时刻正处于图示状态。设斜面对小球的支持力为n，细绳对小球的拉力为t，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是
  a.若小车向左运动，n可能为零
  b.若小车向左运动，t可能为零
  c.若小车向右运动，n不可能为零
  d.若小车向右运动，t不可能为零
答案：ab
解析:本题考查牛顿运动定律。对小球受力分析，当n为零时，小球的合外力水平向右，加速度向右，故小车可能向右加速运动或向左减速运动，a对c错；当t为零时，小球的合外力水平向左，加速度向左，故小车可能向右减速运动或向左加速运动，b对d错。解题时抓住n、t为零时受力分析的临界条件，小球与车相对静止，说明小球和小车只能有水平的加速度，作为突破口。
6．如所示，位于光滑固定斜面上的小物块p受到一水平向右的推力f的作用。已知物块p沿斜面加速下滑。现保持f的方向不变，使其减小，则加速度b
a．一定变小       b．一定变大
c．一定不变　　　 d．可能变小，可能变大，也可能不变
7.某汽车的部分参数如下表，请根据表中数据完成表的其他部分。
整车行使质量1500kg 最大功率92kw

加速性能 0－108km/h(即30m/s)所需时间 平均加速度
 11s _________m/s2

制动性能 车辆以36km/h（即10m/s）行使时的制动距离 制动过程中所受合外力
 6.5m _________n
答案：2.73  1.15 104
【解析】由 可得a 2.73m/s2；根据 和f ma可得f 1.15 104n
8.科研人员乘气球进行科学考察．气球、座舱、压舱物和科研人员的总质量为990 kg．气球在空中停留一段时间后，发现气球漏气而下降，及时堵住．堵住时气球下降速度为1 m/s，且做匀加速运动，4 s内下降了12 m．为使气球安全着陆，向舱外缓慢抛出一定的压舱物．此后发现气球做匀减速运动，下降速度在5分钟内减少3 m/s．若空气阻力和泄漏气体的质量均可忽略，重力加速度g 9.89 m/s2，求抛掉的压舱物的质量．
解析：由牛顿第二定律得：mg－f ma
                    
  抛物后减速下降有：
                     δv a/δt
  解得：
9.直升机沿水平方向匀速飞往水源取水灭火，悬挂着m 500 kg空箱的悬索与竖直方向的夹角θ1 45 。直升机取水后飞往火场，加速度沿水平方向，大小稳定在a 1.5 m/s2时，悬索与竖直方向的夹角θ2 14 。如果空气阻力大小不变，且忽略悬索的质量，试求水箱中水的质量m。
（取重力加速度g 10 m/s2；sin14 0.242；cos14 0.970）

解：直升机取水，水箱受力平衡：
                                  
                            解得：
        直升机返回，由牛顿第二定律得：
                                      
              解得水箱中水的质量为：m 4.5 103 kg

第三单元　牛顿运动定律的应用（一）
基础知识
一、牛顿运动定律的解题步骤
应用牛顿第二定律解决问题时，应按以下步骤进行．
1．分析题意，明确已知条件和所求量
2、选取研究对象；所选取的对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统，同一个题目，根据题意和解题需要也可以先后选取不同的研究对象。
3．对其进行受力情况分析和运动情况分析（切莫多力与缺力）；
4．根据牛顿第二定律列出方程；
说明：如果只受两个力，可以用平行四边形法则求其合力，如果物体受力较多，一般用正交分解法求其合力，如果物体做直线运动，一般把力分解到沿运动方向和垂直于运动方向；当求加速度时，要沿着加速度的方向处理力；当求某一个力时，可沿该力的方向分解加速度；
5．把各量统一单位，代入数值求解；
二、注意事项：
①由于物体的受力情况与运动状态有关，所以受力分析和运动分析往往同时考虑，交叉进行，在画受力分析图时，把所受的外力画在物体上（也可视为质点，画在一点上），把v0和a的方向标在物体的旁边，以免混淆不清。
②建立坐标系时应注意：
a．如果物体所受外力都在同一直线上，应建立一维坐标系，也就是选一个正方向就行了。如果物体所受外力在同一平面上，应建立二维直角坐标系。
b．仅用牛顿第二定律就能解答的问题，通常选加速度a的方向和垂直于a的方向作为坐标轴的正方向，综合应用牛顿定律和运动学公式才能解答的问题，通常选初速度v0的方向和垂直于v0的方向为坐标轴正方向，否则易造成“十”“一”号混乱。
c．如果所解答的问题中，涉及物体运动的位移或时间，通常把所研究的物理过程的起点作为坐标原点。
③解方程的方法一般有两种：一种是先进行方程式的文字运算，求得结果后，再把单位统一后的数据代入，算出所求未知量的值。另一种是把统一单位后的数据代入每个方程式中，然后直接算出所求未知量的值，前一种方法的优点是：可以对结果的文字式进行讨论，研究结果是否合理，加深对题目的理解；一般都采用这种方法，后一种方法演算比较方便，但是结果是一个数字，不便进行分析讨论。（特别指出的是：在高考试题的参考答案中，一般都采用了前一种方法，）
【例1】如图所示．地面上放一m 40kg的木箱，用大小为 10 n与水平方向夹角300的力推木箱，木箱恰好匀速运动，若用此力与水平方向成300角斜向上拉木箱，30s可使木箱前进多少米？（g取10m/s2）
    解析：木箱受重力mg，地面支持力n，推力f以及地面对它的摩擦力f．匀速运动时：    fx=fcos300，fy=fsin300
    竖直方向：n－mg－fsin300 0，所以n mg fsin300
水平方向：    fcos30一f= 0，所以 f fcos300
    而f μn=μ（mg fsin300）    所以μ fcos300/（mg fsin300）=0。02
当力斜向上拉时    竖直方向： n mg一 fsin300  
水平方向：fcos300－μn=ma
所以a=[ fcos300－μ（mg－fsin300）]/m=0．019 m／s2         
s=½at2 8。6m
  注意：由力求加速度时，一定要沿加速度的方向处理力．
【例2】如图电梯与水平面夹角为370，60千克的人随电梯以a lm/s2的加速度运动，则人受到平面的支持力及摩擦力各为多大？（ g取10 rn／s2）
解析：对加速度沿竖直、水平方向分解，
  ax acos370 0．8 m／s2  ay asin370 0．6 m／s2
  水平方向：f max 60 0．8n=48n
  竖直方向：n－mg may ，  所以n mg may （600 36）n=636n
    注意：当由加速度求力时，一定要沿力的方向分解加速度．
【例3】如图所示三个物体质量分别为m1、m2、m3，带有滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有触处的摩擦及绳的质量均不计，为使三个物体无相对运动，则水平推力f               ．
    解析：对m2竖直方向合力为零，所以t=m2g，对m1水平方向只受绳拉力t作用
  所以a=t/m1=m2g/m1，    由于三者加速度一样，所以f （ml十m2十m3）a=（ml十m2十m3）m2g/m1   
注意：几个物体加速度一样时，可先从一个物体入手，求出加速度a，然后将这几个物体视为一系统求合外力。
【例4】如图所示，一根轻质细绳跨过一个定滑轮，一边系住一个敞口轻质容器，内装240gmg，另一边为一重物m，所有摩擦均不计，开始时系统处于平衡状态，将容器中的mg点燃，则燃过后，两者的运动状态发生改变，问全部燃烧完后，两者的加速度分别是多少？（假设mg先与o2反应）。
【解题思路】  mg燃烧后生成mgo，平衡被打破，可假设绳子的拉力为t，为两者分别作受力分析，解出t，a。
     nmg=240/24 10（mol）
    2mg o2 2mgo，得生成mgo的物质的量nmgo 10（mol）
    其质量 m 10 40 400（g）
  设此时两者加速度大小为a，绳的拉力为t。对容器作用受力分析有mg一t ma……①
   对重物作受力分析有 t－mg=ma………②
    联立①、②代入数值解之得。    t 2940（n）    a 2．45（m/s2）
    故容器的加速度为2．45m/s2，方向向下；重物的加速度为2．45m/s2，方向向上。
规律方法
  1、牛顿定律应用的基本方法
【例5】惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计．加速度计的构造原理的示意图如图所示．沿导弹长度方向安装在固定光滑杆上的滑块m,滑块两侧分别与劲度系数均为k的弹簧相连；两弹簧的另一端与固定壁相连．滑块原来静止，弹簧处于自然长度，滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制系统进行制导．设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离o点的距离为s，则这段时间内导弹的加速度（  d  ）
a、方向向左，大小为ks/m
b、方向向右，大小为ks/m
c、方向向左，大小为2ks/m
d、方向向右，大小为2ks/m
解析：原来物体不受弹簧弹力，当指针向左偏转s，右边弹簧被拉长s，左边弹簧产生向右推力ks，右边弹簧产生向右拉力ks，合力为2ks，所以导弹的加速度为a=2ks/m，方向向右。
【例6】如图所示，放在水平地面上的木板长1米，质量为2kg，b与地面间的动摩擦因数为 0．2．一质量为3kg的小铁块a放在b的左端，a、b之间的动摩擦因数为0．4．当a以3m／s的初速度向右运动后，求最终a对地的位移和a对b的位移．
【解析】a在摩擦力作用下作减速运动，b在上、下两个表面的摩擦力的合力作用下先做加速运动，当a、b速度相同时，a、b立即保持相对静止，一起向右做减速运动．
 a在b对它的摩擦力的作用下做匀减速运动        aa=－μag=一4m／s2
 b在上、下两个表面的摩擦力的合力作用下做匀加速运动       
ab=  =lm／s2    a相对b的加速度    a相=aa－ab －5m／s2
当a相对b的速度变为零时，a在b上停止滑动，在此过程中，a对b的位移s相= = =0.9m
a从开始运动到相对静止经历的时间t= =0.6m/s2
 在此时间内b的位移sb=½abt2=½ 1 0.62=0.18m
 a、b相对静止时的速度  v abt 1 0.6m/s 0.6m/s
随后a、b一起以a/=－μbg=－2m/s2作匀减速运动直至停止，这段时间内的位移
s/ =0．09m
综上所述．在整个运动过程中a对地的位移  sa=sb十s相 s/=（0．18 0．9 0．09）m l．17m
2、超重与失重状态的分析
    在平衡状态时，物体对水平支持物的压力（或对悬绳的拉力）大小等于物体的重力．当物体的加速度竖直向上时，物体对支持物的压力大于物体的重力，由f－mg=ma得f=m（g a）>mg，这种现象叫做超重现象；当物体的加速度竖直向下时，物体对支持物的压力小于物体的重力，mg－f=ma得f=m（g－a）<mg，这种现象叫失重现象．特别是当物体竖直向下的加速度为g时，物体对支持物的压力变为零，这种状态叫完全失重状态．
 对超重和失重的理解应当注意以下几点：
（1）物体处于超重或失重状态时，只是物体的视重发生改变，物体的重力始终存在，大小也没有变化，因为万有引力并没有改变．
（2）发生超重或失重现象与物体的速度大小及方向无关，只决定于加速度的方向及大小．
（3）在完全失重的状态下，平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如单摆停摆、天平失效、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等。
【例7】将金属块m用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示，在箱的上顶板和下顶板装有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a=2.0m/s2的加速度竖直向上作匀减速运动时，上顶板的压力传感器显示的压力为6.0 n,下底板的压力传感器显示的压力为10.0 n。 (g取10m/s2）
（1)若上顶板的压力传感器的示数是下底板的压力传感器的示数的一半，试判断箱的运动情况；
 (2）要使上顶板的压力传感器的示数为零，箱沿竖直方向运动的情况可能是怎样的？
解析：由题意，对金属块受力分析如图所示。
  当向上匀减速运动时，加速度方向向下，设上顶板的压力传感器的示数为n1，弹簧弹力为f,由牛顿第二定律有n1 mg一f ma……①
 弹簧弹力f等于下底板的压力传感器的示数n2：f n2=10n代入①可解得m=0．5kg。
（1)依题意，n1=5 n,弹簧长度没有改变，f 10n代入①解得a=0，说明整个箱体做向上或向下的匀速运动。
 (2)当整个箱体的加速度方向向上时有f一n1一mg=ma，求出n1减至零的加速度： =10 m/s2。
上顶板的压力传感器的示数为零时，整个箱体在做加速度不小于10 m/s2的向上加速或向下减速运动。
【例8】如图所示滑轮的质量不计，已知三个物体的质量关系是：m1 m2十m3，这时弹簧秤的读数为t，若把物体m2从右边移到左边的物体m1上，弹簧秤的读数t将（    ）
a.增大；  b.减小；  c.不变；  d.无法判断
【解析】解法1：移m2后，系统左、右的加速度大小相同方向相反，由于ml十m2 m3，故系统的重心加速下降，系统处于失重状态，弹簧秤的读数减小，b项正确。
解法2：:移后设连接绳的拉力为t/，系统加速度大小为a。
    对（ml m2）：（m1 m2)g一t/ （ml m2)a；
    对m3：t/一m3g m3a
消去a，可解得 。
对滑轮稳定后平衡：弹簧秤的读数t 2t/，移动前弹簧秤的读数为2(m1 m2 m3)g，比较可得移动后弹簧秤的读数小于2(m1 m2 m3）g。故b项正确。
【例9】如图所示，有一个装有水的容器放在弹簧台秤上，容器内有一只木球被容器底部的细线拉住浸没在水中处于静止，当细线突然断开，小球上升的过程中，弹簧秤的示数与小球静止时相比较有’（c）
    a.增大； b.不变；  c.减小； d.无法确定
解析：当细线断后小球加速上升时处于超重状态，而此时将有等体积的“水球”加速下降处于失重状态；而等体积的木球质量小于“水球”质量，故总体体现为失重状态，弹簧秤的示数变小．
【例10】如图，一杯中装满水，水面浮一木块，水面正好与杯口相平。现在使杯和水一起向上做加速运动，问水是否会溢出？
【解析】本题的关键在于要搞清这样的问题：当水和木块加速向上运动时，木块排开水的体积是否仍为v，它所受的浮力是否与静止时一样为ρ水gv？我们采用转换的方法来讨论该问题。
    设想在水中取一块体积为v的水，如图所示，它除了受到重力，还要受到周围水的浮力f，当杯和水向上运动时，它将和周围水一起向上运动，相对于杯子不会有相对运动。则f－mg=ma，f= m（g a）=ρ水v（g a）。
    现在，如果把这块水换成恰好排开水的体积为v的木块，显然，当水和木块一起向上做加速运动时，木块所受到周围水对它的浮力也应是ρ水v（g a），木块的加速度为
      a木 f合/m水 = =a，（m水=ρ水v）
可见，木块排开水的体积不会增加，所以水不会溢出
试题展示
1.有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合力进行分析和判断。例如从解的物理量的单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一定特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性。
举例如下：如图所示，质量为m、倾角为θ的滑块a放于水平地面上。把质量为m的滑块b放在a的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得b相对地面的加速度a = m+mm+msin2θ gsinθ，式中g为重力加速度。
对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误的。请你指出该项。
a．当 =0 时，该解给出a=0，这符合常识，说明该解可能是对的
b．当 90 时，该解给出a=g,这符合实验结论，说明该解可能是对的
c．当m>>m时，该解给出a gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
d．当m>>m时，该解给出a ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
答案：d
【解析】：当m m时，该解给出a= ,这与实际不符，说明该解可能是错误的。
2.（山东卷－19）直升机悬停在空中向地面投放装有救灾物资的箱子，如图所示。设投放初速度为零，箱子所受的空气阻力与箱子下落速度的平方成正比，且运动过程中箱子始终保持图示姿态。在箱子下落过程中，下列说法正确的是
a．箱内物体对箱子底部始终没有压力
b．箱子刚从飞机上投下时，箱内物体受到的支持力最大
c．箱子接近地面时，箱内物体受到的支持力比刚投下时大
d．若下落距离足够长，箱内物体有可能不受底部支持力而“飘起来”
答案：c
【解析】：因为受到阻力，不是完全失重状态，所以对支持面有压力，a错。由于箱子阻力和下落的速度成二次方关系，最终将匀速运动，受到的压力等于重力，最终匀速运动，bd错，c对。
3．如图所示，光滑轨道mo和on底端对接且on 2mo，m、n两点高度相同。小球自m点右静止自由滚下，忽略小球经过o点时的机械能损失，以v、s、a、ek分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小。下列图象中能正确反映小球自m点到n点运动过程的是　　　a

4．一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速大小为 ，g为重力加速度。人对电梯底部的压力为 d
a．  b．2mg c．mg d．
5．一物体放置在倾角为 的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，
加速度为 ，如图所示．在物体始终相对于斜面静止的条件下，
下列说法中正确的是　　　　　　bc
 （a）当 一定时， 越大，斜面对物体的正压力越小
 （b）当 一定时， 越大，斜面对物体的摩擦力越大
 （c）当 一定时， 越大，斜面对物体的正压力越小
 （d）当 一定时， 越大，斜面对物体的摩擦力越小
6．固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力f作用下向上运动，推力f与小环速度v随时间变化规律如图所示，取重力加速度g 10 m/s2。求：
⑴小环的质量m；
⑵细杆与地面间的倾角。

解：由图得： 
前2 s有：f2－mg sin ma
2 s后有：f2 mg sin
代入数据可解得：m 1 kg， 30
7．如图所示，物体从光滑斜面上的a点由静止开始下滑，经过b点后进入水平面（设经过b点前后速度大小不变），最后停在c点。每隔0.2秒钟通过速度传感器测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据。（重力加速度g 10 m/s2）
求：
⑴斜面的倾角；
⑵物体与水平面之间的动摩擦因数；
⑶t 0.6 s时的瞬时速度v。
t（s） 0.0 0.2 0.4 … 12 14 …
v（m/s） 0.0 1.0 2.0 … 1.1 0.7 …
解：⑴由前三列数据可知物体在斜面上匀加速下滑时的加速度为
 
mg sin  ma1
可得： 30，
⑵由后二列数据可知物体在水平面上匀减速滑行时的加速度大小为
 
mg ma2
可得： 0.2，
⑶由2 5t 1.1 2（0.8－t），解得t 0.1 s
即物体在斜面上下滑的时间为0.5 s
则：t 0.6 s时物体在水平面上，其速度为v v1.2 a2t 2.3 m/s
8．风洞实验室中可以产生水平方向的、大小可调节的风力，现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室，小球孔径略大于细杆直径。
（1）当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆上作匀速运动，这时小班干部所受的风力为小球所受重力的0.5倍，求小球与杆间的滑动摩擦因数。
（2）保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37 并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少？（sin37 =0.6，cos37 =0.8）
  解：（1）设小球所受的风力为f，小球质量为
                      1
           2
（2）设杆对小球的支持力为n，摩擦力为
沿杆方向 3
垂直于杆方向 4
                              5
可解得 6
                                         7
       
           
第四单元　牛顿运动定律的应用（二）
基础知识
一、简单连接体问题的处理方法
在连接体问题中，如果不要求知道各个运动物体之间的相互作用力，并且各个物体具有大小和方向都相同的加速度，就可以把它们看成一个整体（当成一个质点）分析受到的外力和运动情况，应用牛顿第二定律求出加速度（或其他未知量）；如果需要知道物体之间的相互作用力，就需要把物体从系统中隔离出来，将内力转化为外力，分析物体的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律列出方程．隔离法和整体法是互相依存、互相补充的．两种方法互相配合交替应用，常能更有效地解决有关连接体的问题．
【例1】一质量为m，倾角为θ的楔形木块，放在水平桌面上，与桌面间的动摩擦因数为μ，一物块质量为m，置于楔形木块的斜面上，物块与斜面的接触是光滑的．为了保持物块相对斜面静止，可用一水平力f推楔形木块，如图所示，求此水平力大小的表达式．
解析：把楔形木块和放在其上相对静止的物块看成一个整体．它只受到四个力作用：重力（m+m）g，竖直向下；桌面对它的支持力n，竖直向上；水平向左的推力f；桌面对它的摩擦力f，水平向右．由牛顿定律和摩擦定律可得
f－f=（m m）a， n－（m m）g=0，f μn 
联立解得    f=μ（m m）g （m m）a…………①
再隔离m，根据其特殊要求（与m相对静止，a相同）和受力情况确定m的加速度也就是整体的a．
小物块m的受力情况如图．小物块相对地面是沿水平向左运动，故有
nsinθ ma， ncosθ= mg    解得a=gtgθ代入①式得水平推力 f=μ（m m）g （m m）gtgθ．
说明：（l）物体间相对静止指的是物体间的相对速度和相对加速度均为零的状态．
    （2）系统内各物体的加速度相同，是整体法与隔离法的联接点．
二、注意事项：   
1、用隔离法解连接体问题时，容易产生如下错误：
（l）例如f推m及m一起前进（如图），隔离m分析其受力时，认为f通过物体m作用到m上，这是错误的．
（2）用水平力f通过质量为m的弹簧秤拉物体m在光滑水平面上加速运动时（如图所示．不考虑弹簧秤的重力），往往会认为弹簧秤对物块m的拉力也一定等于f．实际上此时弹簧秤拉物体m的力f/ f—ma，显然f/ f．只有在弹簧秤质量可不计时，才可认为f/ f．
2．当系统内各个物体的加速度相同时，则可把系统作为一个整体来研究．但这并不是使用整体法的必要条件，有些问题中系统内物体的加速度不同，也可用整体法来研究处理。如图中物块m沿斜面体m以加速度a下滑，斜面体不动．欲求地面对斜面体的静摩擦力f时，就可把此系统（m和m）作为整体处理，由牛顿第二定律得f macosθ m 0 macosθ．式中acosθ为物块加速度的水平分量．
三、应用牛顿运动定律解题的特殊方法
1．用极端分析法分析临界条件
  若题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般都有临界现象出现，分析时，可用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端（界），分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件，应用规律列出在极端情况下的方程，从而暴露出临界条件．
2．用假设法分析物体受力
  在分析某些物理过程时，常常出现似乎是这又似乎是那的多种可能性，难以直观地判断出来．此时可用假设法去分析．
  方法i：假定此力不存在，根据物体的受力情况分析物体将发生怎样的运动，然后再确定此力应在什么方向，物体才会产生题目给定的运动状态．
  方法ⅱ：假定此力存在，并假定沿某一方向，用运动规律进行分析运算，若算得结果是正值，说明此力确实存在并与假定方向相同；若算得的结果是负值，说明此力也确实存在，但与假定的方向相反；若算得的结果是零，说明此力不存在．
【例2】如图，一个质量为0．2 kg的小球用细绳吊在倾角θ=530的斜面顶端，斜面静止时球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m／s2的加速度向右运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力．
 解析：把加速度a推到两个极端来分析：当a较小（a=0）时，小球受到重力、绳的拉力、斜面的支持力的作用，此时，绳平行于斜面；当a足够大时，小球将“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角未知，那么a=10m／s2向右时，究竟是上述两种情况中的哪能一种呢？必须先求出小球离开斜面的临界值a0，然后才能确定．
    设小球处在刚离开斜面或刚不离开斜面的临界状态（n刚好为零）时斜面向右的加速度为a0，此时对小球由牛顿第二定律得
      tcosθ ma0………①      tsinθ－mg=0………②
    由①②式解得a0 gctgθ=7．5m／s2．
    由于斜面的加速度a 10m／s2 a0，可知小球已离开斜面．则
    t= =2．83 n，         n 0．
说明：若斜面体向左加速运动，小球及绳将可能处于何种状态？斜面体对地面的压力在向右加速和向左加速时比（m m）g大还是小？
【例3】如图，车厢中有一倾角为300的斜面，当火车以10m／s2的加速度沿水平方向向左运动时，斜面上的物体m与车厢相对静止，分析物体m所受摩擦力的方向．
    解析：方法一：m受三个力作用，重力mg、弹力 n、静摩擦力f． f的方向难以确定．我们先假设这个力不存在，那么如图，mg与n只能在水平方向产生mg tgθ的合力，此合力只能产生gtg300= g的加速度，小于题目给定的加速度，故斜面对m的静摩擦力沿斜面向下．
    方法二：假定m所受的静摩擦力沿斜面向上．将加速度a正交分解，沿斜面方向根据牛顿定律有mgsin300一f=macos300
    解得f 5（1一 ）m，为负值，说明f的方向与假定的方向相反，应是沿斜面向下．
    说明：极端分析法、特值分析法、临界分析法、假设法等都是解答物理题时常用到的思维方法．望同学们结合平时的解题训练，认真地体会各种方法的实质、特点，总结每种方法的适用情境．
规律方法
  1、连接体的求解方法
【例4】如图所示，a,b并排紧贴着放在光滑的水平面上，用水平力f1 ,f2同时推a和b.如f1=10n，f2=6n，ma mb，则a,b间的压力可能为（  ab    ）
    a. 9 n； b. 9.5 n；c. 11 n； d. 7 n；
    解：设a,b间的压力为n，对a,b分别应用牛顿第二定律得
f1一n= maa………①
n一f2=mba………②            由①②式得n=8
物体的质量只能大于零，即ma>0，mb>0，由此可知 ．
由③式可推出n>8 'n.综上分析得8 n<n<10 n；    故答案：ab
【例5】如图所示，等臂天平左端挂一质量不计的光滑定滑轮，跨过滑轮的轻绳，两端各拴一物体a和b.已知物体b的质量mb=3kg，欲使天平平衡，物体c的质量可能为（）
     a. 3 kg ；b. 9 kg；   c. 12 kg ；    d. 15 kg
解：设绳的拉力为t,对物体a,b,分别由牛顿第二定律有
    mbg一t=mba，①
    t－mag=maa．②
由①②式得 ；对物体c,由平衡条件有
当ma o时，有mc=0
当ma 时，有mc=4mb=12 kg
得0<mc<12kg；，故选项a、b正确
   “利用区间解选择题”，对有些物理选择题，若能够相应的物理规律，确定出所求物理量的取值范      反复推论便可迅速求解，这是一种重复的解题方法：
2、动力学的临界和极值的求法
【例6】如图所示，2kg的物体放在水平地面上，物体离墙20m，现用30n的水平力作用于此物体，经过2s可到达墙边，若仍用30n的力作用于此物体，求使物体到这墙边作用力的最短作用时间？
  解析：要使推力作用时间最短，但仍可到达墙边，则物体到达墙边的速度应恰好为零，物体第一次受推力加速运动得：a1 2s/t2 10 m／s2
    由f一f=ma1得f=f一ma1 10 n
    设撤去外力f时物体的速度为v
    则v a1t1 a2t2，其中a2=f/m=5m/s2
    故有t2 =2t1 ，s=s1 s2=½ a1t12 ½a2t22   即．20 ½ 10t12 ½ 5（2t2）2
    解出  t1 1．15s
答案： 1．15s
注意:力的作用时间最短与物体运动时间最短有什么区别?如何求物体运动到墙的最短时间?
【例7】如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长．然后使托盘以加速度a竖直向下做匀加速直线运动（a g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？
    解析：在物体与托盘脱离前，物体受重力、弹簧拉力和托盘支持力的作用，随着托盘向下运动，弹簧的弹力增大，托盘支持力减小，但仍维持合外力不变，加速度不变，物体随托盘一起向下匀加速运动．当托盘运动至使支持力减小为零后，弹簧拉力的增大将使物体的加速度开始小于a，物体与托盘脱离．所以物体与托盘脱离的条件是支持力 n 0．设此时弹簧伸长了x；物件随托盘一起运动的时间为t．由牛顿第二定律有mg－kx ma
    由匀变速运动规律有x ½at2，由此解得t=
【例8】如图所示，一质点自倾角为θ的斜面的上方点o，沿一光滑斜槽oa下滑．欲使此质点到达斜面所需的时间最短，则斜槽oa与竖直线ob所成的角β应为何值？
解：作一过点o且与斜面相切的圆，切点为a,圆心为o1，ob为过点o的一条直径，如图所示．由结论可知，从点o沿不同的光滑斜槽到达圆周上各点的时间相同，沿光滑斜槽oa到达a也就到达斜面，而沿其他不同的斜槽到达圆周上的时间虽然相同，但没有到达斜面，不符合题意．所以，沿oa斜槽所需的时间最短．
如图连接o1 a, ao1 b =θ,得 aob=θ/2，即 β=θ/2
  又解：如图所示，由o点向斜面引垂线oc,设oc的长为b(定值），沿任一光滑槽oa到达斜面所用时间为t, oa与竖直线ob所成夹角为β，由牛顿第二定律，沿oa下滑的加速度a= gcosβ……①
 …………②
 ………③
由①②③式可得t= ………④
由④式得当β=θ－β即β=θ/2时，t最小．
【例9】一个物体在斜面上以一定的速度沿斜面向上运动，斜面底边水平，斜面倾角θ可在0 л/2间变化，设物体达到的最大位移x和倾角θ间的关系如图所示，试计算θ为多少时x有最小值，最小值是多少？
【解析】物体以一定的速度沿斜面向上运动，合力大小为重力的分力与滑动摩擦力之和。重力的分力（下滑力）随θ增大而增大；滑动摩擦力由压力和动摩擦因数决定，动摩擦因数为定值，则由于压力等于重力的另一分力随θ增大而减小，故滑动摩擦力随θ增大而减小。由此加速度可以有最小值。初速、末速给定时，加速度最小必对应位移取得最小值。
物体沿斜面运动，垂直于斜面方向有n=mgcosθ……①，沿斜面有mgsinθ μn=ma……②
 由①②可得a g（sinθ μcosθ)；又由匀变速直线公式可得s= ，当（sinθ μcosθ）取最大值时位移最小。
再由x θ图，当θ 900时，位移为10m，代入位移表达式解得v02=20 g;
  当θ=00时，位移为 m，代入位移表达式解得 。
  求（sinθ μcosθ）的最大值：
   
当θ β 900时，(sinθ μcosθ)取得最大值，位移取得最小值，
此时cosβ= ；β=300,θ=900－β=600
  位移最小值：xmin 。

试题展示
1. 如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块a和b紧挨着匀速下滑，a与b的接触面光滑。已知a与斜面之间的动摩擦因数是b与斜面之间动摩擦因数的2倍，斜面倾角为α。b与斜面之间的动摩擦因数是
a．23tanα　　　　　　b．23cotα
c．tanα　　　　　　 d．cotα
答案：a 
解析：a、b两物体受到斜面的支持力均为mgcosα，所受滑动摩擦力分别为：fa = μamgcosα，fb = μbmgcosα，对整体受力分析结合平衡条件可得：2mgsinα =μamgcosα μbmgcosα，且μa = 2μb，解之得：μb = tanα，a项正确。
2.如图，质量为m的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力f沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为
a．（m m）g                
b．（m m）g－f
c．（m m）g fsinθ         
d．（m m）g－fsinθ
答案：d
【解析】：本题可用整体法的牛顿第二定律解题，竖直方向由平衡条件：fsinθ n=mg mg，则n= mg mg－fsinθ 。
3.如图，水平地面上有一楔形物体b，b的斜面上有一小物块a；a与b之间、b与地面之间均存在摩擦．已知楔形物体b静止时，a静止在b的斜面上．现给a和b一个共同的向左的初速度，与a和b都静止时相比，此时可能
a．a与b之间的压力减少，且a相对b向下滑动
b．a与b之间的压力增大，且a相对b向上滑动
c．a与b之间的压力增大，且a相对b静止不动
d．b与地面之间的压力不变，且a相对b向上滑动
答案：bc 
【解析】：依题意，若两物体依然相对静止，则a的加速度一定水平向右，如图将加速度分解为垂直斜面与平行于斜面，则垂直斜面方向，n－mgcosθ=may，即支持力n大于mgcosθ，与都静止时比较，a与b间的压力增大；沿着斜面方向，若加速度a过大，则摩擦力可能沿着斜面向下，即a物块可能相对b向上滑动趋势，甚至相对向上滑动，故a错，b、c正确；对系统整体，在竖直方向，若物块a相对b向上滑动，则a还具有向上的分加速度，即对整体的牛顿第二定律可知，系统处于超重状态，b与地面之间的压力将大于两物体重力之和，d错。
4．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力f拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为b
a．       b．     
c．       d．
5．跨过定滑轮的绳的一端挂一吊板，另一端被吊板上的人拉住，如图所示，已知人的质量为70kg，吊板的质量为10kg，
绳及定滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计。
取重力加速度g =10m/s2，当人以440n的
力拉绳时，人与吊板的加速度a和人对吊
板的压力f分别为
(a) a =1.0m/s2 , f =260n
(b) a =1.0m/s2 , f =330n
(c) a =3.0m/s2 , f =110n
(d) a =3.0m/s2 , f =50n
[答案]：b
6．图中a、b是两个位于固定斜面上的正方形物块，它们的质量相等。f是沿水平方向作用于a上的外力。已知a、b的接触面，a、b与斜面的接触面都是光滑的。正确的说法是d

a．a、b一定沿斜面向上运动
b．a对b的作用力沿水平方向
c．a、b对外面的正压力相等
d．a受到的合力沿水平方向的分力等于b受到的合力沿水平方向的分力
7．物体b放在物体a上，a、b的上下表面均与斜面平行（如图），当两者以相同的初速度
 靠惯性沿光滑固定斜面c向上做匀减速运动时，（c   ）
 a．a受到b的摩擦力沿斜面方向向上。
 b．a受到b的摩擦力沿斜面方向向下。
 c．a、b之间的摩擦力为零。
 d．a、b之间是否存在摩擦力取决于a、b表面的性质。
8．如图，在倾角为 的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。
已知木板的质量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持
其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为  （ c   ）
 a．  b．
 c．  d．2
9．质量不计的弹簧下端固定一小球。现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a(a<g)分别向上、向下做匀加速直线运动。若忽略空气阻力，弹簧的伸长分别为x1、x2;若空气阻力不能忽略且大小恒定，弹簧的伸长分别为x′1、x′2。则　　　　　　　　　　　　　　c
a. x′1+x1=x2+x′2                            b. x′1+x1<x2+x′2
c. x′1+ x′2= x1+x2                  d. x′1+ x′2< x1+x2
10．如图所示，一辆汽车a拉着装有集装箱的拖车b，以速度v1 30 m/s进入向下倾斜的直车道。车道每100 m下降2 m。为了使汽车速度在s 200 m的距离内减到v2 10 m/s，驾驶员必须刹车。假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70％作用于拖车b，30％作用于汽车a。已知a的质量m1 XX kg，b的质量m2 6000 kg。求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力。取重力加速度g 10 m/s2。
解：汽车沿倾斜车道作匀减速运动，有：
用f表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律得：
            
     式中： 
设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为f，依题意得：
用fn表示拖车作用汽车的力，对汽车应用牛顿第二定律得：
联立以上各式解得：
11．一质量为 的小孩站在电梯内的体重计上。电梯从 时刻由静止开始上升，在 到 内体重计示数 的变化如图所示. 试问：在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度
解：由图可知，在 到 的时间内，体重计的示数大于 ，故电梯应做向上的加速运
动.设在这段时间内体重计作用于小孩的力为 ，电梯及小孩的加速度为 ，由牛顿第二定律，得
      ①
在这段时间内电梯上升的高度
       ②
在 到 的时间内，体重计的示数等于 ，故电梯应做匀速上升运动，速度为 时刻的瞬时速度，即
        ③
在这段时间内电梯上升的高度
      ④
在 到 的时间内，体重计的示数小于 ，故电梯应做向上的减速运动.设这段时间内体重计作用于小孩的力为 ，电梯及小孩的加速度为 ，由牛顿第二定律，得
      ⑤
在这段时间内电梯上升得高度
   ⑥
电梯上升的总高度
      ⑦
由以上各式，利用牛顿第三定律和题文及题图中的数据，解得
  9 m       
12．一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为 。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
解：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿定律，可得
a=μg
设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有
v0=a0t  v=at
由于a<a0，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v0，有 v=v+at'
此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有
s0=12 a0t2+v0t'   s=v022a
传送带上留下的黑色痕迹的长度 l=s0－s
由以上各式得l=v02(a0－μg)2μa0g