数学教案－一元二次方程实数根错例剖析课

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式 =_______，当 _______时，方程有两个相等的实数根，当 _______时，方程有两个不相等的实数根，当 ________时，方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)   x2+2x+3 0     (B) x2-2x+3 0    (c)  x2-2x-3 0      (D)  x2+2x+3 0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2 2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由 可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2   若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2 0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（     ）

(A)   k -1     (B)  k 0    (c) -1 k 0    (D) -1 k 0

错解 ：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是 0

例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 <?XML:NAMESPACE PREFIX =O />x-1 0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由 (-2 )2-4(1-2k)(-1) -4k+8 0得  k 2又 k+1 0 k -1。即 k的取值范

围是 -1 k 2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k 0这个前提。事实上，当1-2k 0即k 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1 k 2且k

例4             （2002山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1 0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

       x1+x2 -（2m+1）,    x1x2 m2+1,

      x12+x22 (x1+x2)2-2 x1x2

             [-（2m+1）]2-2（m2+1）

             2 m2+4 m-1

      又 x12+x22=15

      2 m2+4 m-1=15

      m1 -4   m2 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式 0。因为当m -4时，方程为x2-7x+17 0，此时 （-7）2-4×17×1   -19 0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m 2

例5   若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1 0有实数根，求m的取值范围。

错解： [-2(m+2)]2-4(m2-1) 16 m+20

     0

     16 m+20 0，

     m -5/4

   又 m2-1 0，

       m ±1

     m的取值范围是m ±1且m -

错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1 0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1 0和m2-1 0两种情况。当m2-1 0时，即m ±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解：m的取值范围是m -  

例6  已知二次方程x2+3 x+a 0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解： 方程有整数根，

9-4a 0，则a 2.25

又 a是非负数， a 1或a 2

令a 1，则x -3± ，舍去；令a 2，则x1 -1、 x2 -2

方程的整数根是x1 -1， x2 -2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a 0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3 0， x4 -3

正解：方程的整数根是x1 -1， x2 -2 ，  x3 0， x4 -3

【练习】

练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得 (2k-1)2-4 k2 0      解得k

当k 时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2=- =0，

 解得k 。经检验k 是方程- 的解。

当k 时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（1）漏掉k 0，正确答案为：当k 时且k 0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）k 。不满足 0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数

练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1 0只有正实数根 ?

解：（1）当a 0时，方程为4x-1 0， x

（2）当a 0时， 16+4a 0   a -4

当a -4且a 0时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：

x1+x2 - 0 ；

x1. x2 - 0      解得 ：a 0

综上所述，当a 0、a -4、a 0时，即当-4 a 0时，原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“ ”之间的关系。

1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时， 0是前提条件。

3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。

【布置作业 】  

1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9 0有两个正根？

2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5 0（m 0）没有实数根。求证：关于x的方程

（m-5）x2-2（m+2）x + m 0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+3 0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1 0

（1）若方程的一个根为1，求m的值。

（2）m 5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m2 0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。

4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q 0的两个根，且x1+x2 6，x12+x22 20，求p和q的值。