第二十六章“二次函数”简介

课程教材研究所　薛彬 学生已经学习了一次函数与反比例函数，对于函数已经有所认识。从一次函数与反比例函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容：

（1） 通过具体实例认识这种函数；

（2） 探索这种函数的图象和性质；

（3） 利用这种函数解决实际问题；

（4） 探索这种函数与相应方程等的关系。

本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图象和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法，最后让学生运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。

本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：

26.1 　二次函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　6课时

26.2 　用函数观点看一元二次方程 　　　　　　　　　　1课时

26.3 　实际问题与二次函数 　　　　　　　　　　　　　3课时

数学活动

小结 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时

一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

（二）教科书内容

本章共分三节。首先介绍二次函数及其图象，并从图象得出二次函数的有关性质。然后探讨二次函数与一元二次方程的联系。最后通过设置探究栏目展现二次函数的应用。

在第一节中，首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义。关于二次函数的图象和性质的讨论分为以下几部分。

（1）从最简单的二次函数函数y=x出发，通过描点画出它的图象，从而引出抛物线的有关概念。

（2）讲述二次函数y=ax的图象的画法，并归纳出这类抛物线的特征。

（3）讨论形如y=ax k和y=a（x－h）的函数的图象，然后讨论形如y=a（x－h） k的函数的图象。

（4）讨论函数y=ax bx c的图象。

上述讨论过程如下图所示：

在第二节中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

在第三节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。关于这三个问题进一步说明如下。

在探究1中，某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况。在本题中，设涨价元，则可以确定销量随变化的函数式。由此得到销售额、成本随变化的函数式。进而得出利润随变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。有了上述讨论，降价的情况就让学生自己去研究了。最后，让学生综合涨价与降价两种情况，得出本题的答案。

在探究2中，磁盘的存储量与每磁道的存储单元数与磁道数有关。在本题中设磁盘最内磁道的半径为r ，则可以确定每磁道的存储单元数、磁道数随r变化的函数式。由此得到磁盘的存储量随r变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。

在探究3中，首先要建立适当的坐标系。在本题中，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。这样便于求出这条抛物线表示的二次函数。当水面下降1m时，就可以根据上面的函数表达式求出下降后的水面宽度。

这样，学生通过探究并解决上述三个问题，对用二次函数解决实际问题会有更深的体会。

（三）课程学习目标

本章的学习目标如下：

1． 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2． 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

二、本章编写特点

（一） 注重探索结论

在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。

例如，让学生观察函数的图象与函数的图象的共同点与不同点，探究函数，的图象的共同点与不同点，从而得出抛物线的特征。

又如，让学生讨论抛物线与抛物线的关系，探究二次函数y=y=的开口方向、对称轴和顶点，从而得出把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得抛物线结论。

再如，让学生思考二次函数y=ax bx c与函数的关系，从而通过配方法加以转化。

这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力。

（二） 注重知识之间的联系

学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。

此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、多边形对角线数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线的对称轴。再如，用平移描述函数与函数的图象之间的关系。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。

（三） 注重联系实际

二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、物体自由下落、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。例如，在函数的讨论之后，安排了一个修建喷水池时确定水管长度的问题。又如，在函数y=ax bx c的讨论之后，让学生探究用总长一定的篱笆围成最大矩形场地的问题。这样做进一步加强了二次函数与实际生活的联系，使所学知识得到应用。

二次函数与一元二次方程的关系也是通过小球飞行这样的实际问题引出的。在这个问题中，以40m/s的速度将高尔夫球沿与地面成30 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系

.

让学生考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15 m? 如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20 m? 如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m? 为什么？

将问题中h的值代入函数解析式，就得到关于t的一元二次方程。这三个问题对应了一元二次方程有两个不等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根的三种情况；从图象上看，则对应了直线y h与上述抛物线有两个公共点、一个公共点、没有公共点的三种情况。这样学生结合问题的实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会。

为了加强二次函数与实际生活的联系，本章在第三节进一步讨论用二次函数解决实际问题。此外，本章中的选学栏目“实验与探究 推测植物的生长与温度的关系”也是从实际问题出发，探讨二次函数的应用的。

三、几个值得关注的问题

（一） 注意复习相关内容

二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级上册“一次函数”、八年级下册“反比例函数”的学习到九年级下册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。

二次函数的图象关于y轴对称，函数y=ax的图象与函数y=－ax的图象关于y轴对称，函数的图象可以由函数y=ax的图象平移得到，这些内容都涉及到已学的图形变换的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习本章中的上述内容。

讨论函数，关键是用配方法把它化为函数y=a(x－h) k。配方法曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解。在本章相关内容的学习中，学生通过运用配方法，进一步熟悉这种方法。

总之，在本章的学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。

（二）关于计算机的使用

用某些计算机画图软件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数的图象，拖动图象上的一点p, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x取这点的横坐标时，有最小值或最大值；当x小于这点的横坐标时，随x的增大而减小（增大），当x大于这点的横坐标时，随x的增大而增大（减小）。

利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程，只要用计算机软件画出相应抛物线，再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。

上述内容安排在本章的选学栏目中，有条件的话，可以让学生加以尝试