初二数学（上）必知知识点归纳

  
因式分解
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.
2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3．公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.
注意公式：a+b=b+a；   a-b=-(b-a)；   (a-b)2=(b-a)2；   (a-b)3=-(b-a)3.
4．因式分解的公式：
(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；
(2)完全平方公式：  a2+2ab+b2=(a+b)2,   a2-2ab+b2=(a-b)2.
5．因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.
7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q是完全平方式 ?  ”.
分式
1．分式：一般地，用a、b表示两个整式，a b就可以表示为 的形式，如果b中含有字母，式子  叫做分式.
2．有理式：整式与分式统称有理式；即  .
3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
即 
（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.
5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.
6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.
7．分式的乘除法法则：   .
8．分式的乘方： .
9．负整指数计算法则：
（1）公式： a0=1(a 0),   a-n=  (a 0)；
（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；
（3）公式： ， ；
（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.
10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.
11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂.
12．同分母与异分母的分式加减法法则：    .
13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a 0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.
14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.
16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.
数的开方
1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.
2．平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；
（2）0的平方根还是0；
（3）负数没有平方根.
3．平方根的表示方法：a的平方根表示为 和 .注意： 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.
4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 .注意：0的算术平方根还是0.
5．三个重要非负数： a2 0 ,|a| 0 ， 0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.
6．两个重要公式：
（1）  ; (a 0)
（2）   .
7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为 ；即把a开三次方.
8．立方根的性质：
（1）正数的立方根是一个正数；
（2）0的立方根还是0；
（3）负数的立方根是一个负数.
9．立方根的特性： .
10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.
11．实数：有理数和无理数统称实数.
12．实数的分类：（1） （2）  .
13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.
14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：       .
三角形
几何a级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1．三角形的角平分线定义：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）   几何表达式举例：
(1) ad平分 bac
bad= cad
(2) bad= cad
ad是角平分线
2．三角形的中线定义：
在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）

  几何表达式举例：
(1) ad是三角形的中线
bd = cd
(2) bd = cd
ad是三角形的中线

3．三角形的高线定义：
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
（如图）

  几何表达式举例：
(1) ad是δabc的高
adb=90
(2) adb=90
ad是δabc的高

※4．三角形的三边关系定理：
三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）

 几何表达式举例：
(1) ab+bc ac
……………
(2) ab-bc ac
……………

5．等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）
 几何表达式举例：
(1) δabc是等腰三角形
ab = ac
(2) ab = ac
δabc是等腰三角形
6．等边三角形的定义：
有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）

  几何表达式举例：
(1) δabc是等边三角形
ab=bc=ac
(2) ab=bc=ac
δabc是等边三角形
7．三角形的内角和定理及推论：
（1）三角形的内角和180 ；（如图）
（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）
※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(1) a+ b+ c=180
…………………
(2) c=90
a+ b=90
(3) acd= a+ b
…………………
(4) acd a
…………………
8．直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）
  几何表达式举例：
(1) c=90
δabc是直角三角形
(2) δabc是直角三角形
c=90

9．等腰直角三角形的定义：
两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）

  几何表达式举例：
(1) c=90    ca=cb
δabc是等腰直角三角形
(2) δabc是等腰直角三角形
c=90    ca=cb

10．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等；（如图）
（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

几何表达式举例：
(1) δabc δefg
ab = ef  ………
(2) δabc δefg
a= e   ………

11．全等三角形的判定：
“sas”“asa”“aas”“sss”“hl”. 

12．角平分线的性质定理及逆定理：
（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.
 
13．线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）

14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）
（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）
 
15．等腰三角形的性质定理及推论：
（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60 .（如图）

16．等腰三角形的判定定理及推论：
（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）
（3）有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形；（如图）
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30 ，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）
 17．关于轴对称的定理
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
18．勾股定理及逆定理：
（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；
（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

 19．rtδ斜边中线定理及逆定理：
（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；
（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

几何b级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一  基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二  常识：
1．三角形中，第三边长的判断：   另两边之差 第三边 另两边之和.
2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若cd ab，be ca，则cd?ab=be?ca.
4．三角形能否成立的条件是：最长边 另两边之和.
5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.
6．分别含30 、45 、60 的直角三角形是特殊的直角三角形.

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
（1） ac?cb=cd?ab ；  （2） 1= b ， 2= a .
8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.
9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
10．等边三角形是特殊的等腰三角形.
11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.
12．符合“aaa”“ssa”条件的三角形不能判定全等.
13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.
14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.
15．会用尺规完成“sas”、“asa”、“aas”、“sss”、“hl”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.
17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.
※18．几何重要图形和辅助线：
（1）选取和作辅助线的原则：
①  构造特殊图形，使可用的定理增加；
②  一举多得；
③  聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
④  作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若bd是角平分线）
① 在ba上截取be=bc构造全等，转移线段和角；
②  过d点作de‖bc交ab于e，构造等腰三角形 .

（3）已知三角形中线（若ad是bc的中线）
① 过d点作de‖ac交ab于e，构造中位线 ；

② 延长ad到e，使de=ad  
连结ce构造全等，转移线段和角；
③  ad是中线                       
sδabd= sδadc
（等底等高的三角形等面积）
 
(4) 已知等腰三角形abc中，ab=ac
① 作等腰三角形abc底边的中线ad
（顶角的平分线或底边的高）构造全
等三角形；
 ② 作等腰三角形abc一边的平行线de，构造
新的等腰三角形.

（5）其它
① 作等边三角形abc
一边 的平行线de，构造新的等边三角形；
② 作ce‖ab，转移角；           
③  延长bd与ac交于e，不规则图形转化为规则图形；
④ 多边形转化为三角形；   
⑤ 延长bc到d，使cd=bc，连结ad，直角三角形转化为等腰三角形；
⑥ 若a‖b,ac,bc是角平
分线,则 c=90 .